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Edit and run 





In [ ]:



    


# 任意选一个你喜欢的整数，这能帮你得到稳定的结果
seed = 1234

欢迎来到线性回归项目

若项目中的题目有困难没完成也没关系，我们鼓励你带着问题提交项目，评审人会给予你诸多帮助。

所有选做题都可以不做，不影响项目通过。如果你做了，那么项目评审会帮你批改，也会因为选做部分做错而判定为不通过。

其中非代码题可以提交手写后扫描的 pdf 文件，或使用 Latex 在文档中直接回答。

1 矩阵运算

1.1 创建一个 4*4 的单位矩阵





In [ ]:



    


# 这个项目设计来帮你熟悉 python list 和线性代数
# 你不能调用任何NumPy以及相关的科学计算库来完成作业


# 本项目要求矩阵统一使用二维列表表示，如下：
A = [[1,2,3], 
     [2,3,3], 
     [1,2,5]]

B = [[1,2,3,5], 
     [2,3,3,5], 
     [1,2,5,1]]

# 向量也用二维列表表示
C = [[1],
     [2],
     [3]]

#TODO 创建一个 4*4 单位矩阵
I = [[1,0,0,0],
     [0,1,0,0],
     [0,0,1,0],
     [0,0,0,1]]

1.2 返回矩阵的行数和列数





In [ ]:



    


# 运行以下代码测试你的 shape 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_shape



    


















    






ERROR:root:File `'test.py'` not found.

















In [ ]:



    


# TODO 返回矩阵的行数和列数
def shape(M):
    return len(M),len(M[0])

1.3 每个元素四舍五入到特定小数数位





In [ ]:



    


# TODO 每个元素四舍五入到特定小数数位
# 直接修改参数矩阵，无返回值
def matxRound(M, decPts=4):
    row, col = shape(M)
    for i in range(row):
        for j in range(col):
            M[i][j]=round(M[i][j],decPts)
    pass



    











In [ ]:



    


# 运行以下代码测试你的 matxRound 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_matxRound

1.4 计算矩阵的转置





In [ ]:



    


# TODO 计算矩阵的转置
def transpose(M):
    row, col = shape(M)
    MT = []
    for i in range(col):
        MT.append([x[i] for x in M])
    return MT



    











In [ ]:



    


# 运行以下代码测试你的 transpose 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_transpose

1.5 计算矩阵乘法 AB





In [ ]:



    


# TODO 计算矩阵乘法 AB，如果无法相乘则raise ValueError
def matxMultiply(A, B):
    rowA, colA = shape(A)
    rowB, colB = shape(B)
    if not colA == rowB:
        raise ValueError
    # result would be rowA x colB
    result = [[0] * colB for row in range(rowA)]
    BT = transpose(B)
    for i in range(rowA):
        rowa = A[i]
        for j in range(colB):
            colb = BT[j]
            element = sum([rowa[x]*colb[x] for x in range(colA)])
            result[i][j] = element
    return result



    











In [ ]:



    


# 运行以下代码测试你的 matxMultiply 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_matxMultiply

2 Gaussign Jordan 消元法

2.1 构造增广矩阵

$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ a_{31} & a_{22} & ... & a_{3n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{bmatrix} , b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ ... \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}$

返回 $ Ab = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_{2}\\ a_{31} & a_{22} & ... & a_{3n} & b_{3}\\ ... & ... & ... & ...& ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} & b_{n} \end{bmatrix}$





In [ ]:



    


# TODO 构造增广矩阵，假设A，b行数相同
def augmentMatrix(A, b):
    # result would be rowA x (colA+colb)
    rowA, colA = shape(A)
    result = [[0] * (colA+1) for row in range(rowA)]
    for i in range(rowA):
        for j in range(colA):
            result[i][j] = A[i][j]
        result[i][colA] = b[i][0]
    return result



    











In [ ]:



    


# 运行以下代码测试你的 augmentMatrix 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_augmentMatrix

2.2 初等行变换

  • 交换两行
  • 把某行乘以一个非零常数
  • 把某行加上另一行的若干倍：




In [ ]:



    


# TODO r1 <---> r2
# 直接修改参数矩阵，无返回值
def swapRows(M, r1, r2):
    colM = shape(M)[1]
    for i in range(colM):
        tmp = M[r1][i]
        M[r1][i] = M[r2][i]
        M[r2][i] = tmp
    pass



    











In [ ]:



    


# 运行以下代码测试你的 swapRows 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_swapRows



    











In [ ]:



    


# TODO r1 <--- r1 * scale
# scale为0是非法输入，要求 raise ValueError
# 直接修改参数矩阵，无返回值
def scaleRow(M, r, scale):
    if scale == 0:
        raise ValueError
    colM = shape(M)[1]
    for i in range(colM):
        M[r][i] *= scale
    pass



    











In [ ]:



    


# 运行以下代码测试你的 scaleRow 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_scaleRow



    











In [ ]:



    


# TODO r1 <--- r1 + r2*scale
# 直接修改参数矩阵，无返回值
def addScaledRow(M, r1, r2, scale):
    colM = shape(M)[1]
    for i in range(colM):
        M[r1][i] += M[r2][i]*scale
    pass



    











In [ ]:



    


# 运行以下代码测试你的 addScaledRow 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_addScaledRow

2.3 Gaussian Jordan 消元法求解 Ax = b

2.3.1 算法

步骤1 检查A，b是否行数相同

步骤2 构造增广矩阵Ab

步骤3 逐列转换Ab为化简行阶梯形矩阵 中文维基链接

对于Ab的每一列（最后一列除外）
    当前列为列c
    寻找列c中 对角线以及对角线以下所有元素（行 c~N）的绝对值的最大值
    如果绝对值最大值为0
        那么A为奇异矩阵，返回None (你可以在选做问题2.4中证明为什么这里A一定是奇异矩阵)
    否则
        使用第一个行变换，将绝对值最大值所在行交换到对角线元素所在行（行c） 
        使用第二个行变换，将列c的对角线元素缩放为1
        多次使用第三个行变换，将列c的其他元素消为0

步骤4 返回Ab的最后一列

注： 我们并没有按照常规方法先把矩阵转化为行阶梯形矩阵，再转换为化简行阶梯形矩阵，而是一步到位。如果你熟悉常规方法的话，可以思考一下两者的等价性。

2.3.2 算法推演

为了充分了解Gaussian Jordan消元法的计算流程，请根据Gaussian Jordan消元法，分别手动推演矩阵A为可逆矩阵，矩阵A为奇异矩阵两种情况。

推演示例

$Ab = \begin{bmatrix} -7 & 5 & -1 & 1\\ 1 & -3 & -8 & 1\\ -10 & -2 & 9 & 1\end{bmatrix}$

$ --> $ $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{5} & -\frac{9}{10} & -\frac{1}{10}\\ 0 & -\frac{16}{5} & -\frac{71}{10} & \frac{11}{10}\\ 0 & \frac{32}{5} & -\frac{73}{10} & \frac{3}{10}\end{bmatrix}$

$ --> $ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{43}{64} & -\frac{7}{64}\\ 0 & 1 & -\frac{73}{64} & \frac{3}{64}\\ 0 & 0 & -\frac{43}{4} & \frac{5}{4}\end{bmatrix}$

$ --> $ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{3}{16}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{59}{688}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{5}{43}\end{bmatrix}$

推演有以下要求:

  1. 展示每一列的消元结果, 比如3*3的矩阵, 需要写三步
  2. 用分数来表示
  3. 分数不能再约分
  4. 我们已经给出了latex的语法,你只要把零改成你要的数字(或分数)即可
  5. 检查你的答案, 可以用这个, 或者后面通过单元测试后的gj_Solve

你可以用python的 fractions 模块辅助你的约分

以下开始你的尝试吧!





In [ ]:



    


# 不要修改这里！
from helper import *
A = generateMatrix(3,seed,singular=False)
b = np.ones(shape=(3,1),dtype=int) # it doesn't matter
Ab = augmentMatrix(A.tolist(),b.tolist()) # 请确保你的增广矩阵已经写好了
printInMatrixFormat(Ab,padding=3,truncating=0)

请按照算法的步骤3，逐步推演可逆矩阵的变换。

在下面列出每一次循环体执行之后的增广矩阵。

要求：

  1. 做分数运算
  2. 使用\frac{n}{m}来渲染分数，如下：
    • $\frac{n}{m}$
    • $-\frac{a}{b}$

$ Ab = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$...$





In [ ]:



    


# 不要修改这里！
A = generateMatrix(3,seed,singular=True)
b = np.ones(shape=(3,1),dtype=int)
Ab = augmentMatrix(A.tolist(),b.tolist()) # 请确保你的增广矩阵已经写好了
printInMatrixFormat(Ab,padding=3,truncating=0)

请按照算法的步骤3，逐步推演奇异矩阵的变换。

在下面列出每一次循环体执行之后的增广矩阵。

要求：

  1. 做分数运算
  2. 使用\frac{n}{m}来渲染分数，如下：
    • $\frac{n}{m}$
    • $-\frac{a}{b}$

$ Ab = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$ --> \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$...$

2.3.3 实现 Gaussian Jordan 消元法





In [ ]:



    


# TODO 实现 Gaussain Jordan 方法求解 Ax = b

""" Gaussian Jordan 方法求解 Ax = b.
    参数
        A: 方阵 
        b: 列向量
        decPts: 四舍五入位数，默认为4
        epsilon: 判读是否为0的阈值，默认 1.0e-16
        
    返回列向量 x 使得 Ax = b 
    返回None，如果 A，b 高度不同
    返回None，如果 A 为奇异矩阵
"""
from fractions import Fraction
def gj_Solve(A, b, decPts=4, epsilon = 1.0e-16):
    def max_idx(list):
        if max(list)<=epsilon:
            raise ValueError
        return 0 if len(list)<=0 else list.index(max(list))

    if not shape(A)[0] == shape(b)[0]:
        return None
    
    Ab = augmentMatrix(A, b)
    for i in range(shape(A)[1]):
        col_i = [abs(Ab[row_num][i]) for row_num in range(i, shape(Ab)[0])]
        try:
            idx = max_idx(col_i) + i
            swapRows(Ab, i, idx)
            scaleRow(Ab, i, 1.0/Ab[i][i])
            for j in range(shape(Ab)[0]):
                if j != i:
                    addScaledRow(Ab, j, i, Fraction(-Ab[j][i]))
        except ValueError:
            return None
    result = [[0] * 1 for row in range(shape(Ab)[0])]
    
    for i in range(shape(Ab)[0]):
        result[i][0]=Ab[i][-1]
    
    return result



    











In [ ]:



    


# 运行以下代码测试你的 gj_Solve 函数
%run -i -e test.py LinearRegressionTestCase.test_gj_Solve

(选做) 2.4 算法正确判断了奇异矩阵：

在算法的步骤3 中，如果发现某一列对角线和对角线以下所有元素都为0，那么则断定这个矩阵为奇异矩阵。

我们用正式的语言描述这个命题，并证明为真。

证明下面的命题：

如果方阵 A 可以被分为4个部分:

$ A = \begin{bmatrix} I & X \\ Z & Y \\ \end{bmatrix} , \text{其中 I 为单位矩阵，Z 为全0矩阵，Y 的第一列全0}$，

那么A为奇异矩阵。

提示：从多种角度都可以完成证明

  • 考虑矩阵 Y 和 矩阵 A 的秩
  • 考虑矩阵 Y 和 矩阵 A 的行列式
  • 考虑矩阵 A 的某一列是其他列的线性组合

TODO 证明：

3 线性回归

3.1 随机生成样本点





In [ ]:



    


# 不要修改这里！
# 运行一次就够了！
from helper import *
from matplotlib import pyplot as plt
%matplotlib inline

X,Y = generatePoints(seed,num=100)

## 可视化
plt.xlim((-5,5))
plt.xlabel('x',fontsize=18)
plt.ylabel('y',fontsize=18)
plt.scatter(X,Y,c='b')
plt.show()

3.2 拟合一条直线

3.2.1 猜测一条直线





In [ ]:



    


#TODO 请选择最适合的直线 y = mx + b
m1 = 3.2
b1 = 7.2

# 不要修改这里！
plt.xlim((-5,5))
x_vals = plt.axes().get_xlim()
y_vals = [m1*x+b1 for x in x_vals]
plt.plot(x_vals, y_vals, '-', color='r')

plt.xlabel('x',fontsize=18)
plt.ylabel('y',fontsize=18)
plt.scatter(X,Y,c='b')

plt.show()

3.2.2 计算平均平方误差 (MSE)

我们要编程计算所选直线的平均平方误差(MSE), 即数据集中每个点到直线的Y方向距离的平方的平均数，表达式如下： $$ MSE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(y_i - mx_i - b)^2} $$





In [ ]:



    


# TODO 实现以下函数并输出所选直线的MSE

def calculateMSE(X,Y,m,b):
    list_ = ([(val[1]-val[0]*m-b)**2 for val in zip(X,Y)])
    return sum(list_)/len(list_)

print(calculateMSE(X,Y,m1,b1))

3.2.3 调整参数 $m, b$ 来获得最小的平方平均误差

你可以调整3.2.1中的参数 $m1,b1$ 让蓝点均匀覆盖在红线周围，然后微调 $m1, b1$ 让MSE最小。

3.3 (选做) 找到参数 $m, b$ 使得平方平均误差最小

这一部分需要简单的微积分知识( $ (x^2)' = 2x $ )。因为这是一个线性代数项目，所以设为选做。

刚刚我们手动调节参数，尝试找到最小的平方平均误差。下面我们要精确得求解 $m, b$ 使得平方平均误差最小。

定义目标函数 $E$ 为 $$ E = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{(y_i - mx_i - b)^2} $$

因为 $E = \frac{n}{2}MSE$, 所以 $E$ 取到最小值时，$MSE$ 也取到最小值。要找到 $E$ 的最小值，即要找到 $m, b$ 使得 $E$ 相对于 $m$, $E$ 相对于 $b$ 的偏导数等于0.

因此我们要解下面的方程组。

$$ \begin{cases} \displaystyle \frac{\partial E}{\partial m} =0 \\ \\ \displaystyle \frac{\partial E}{\partial b} =0 \\ \end{cases} $$

3.3.1 计算目标函数相对于参数的导数

首先我们计算两个式子左边的值

证明/计算： $$ \frac{\partial E}{\partial m} = \sum_{i=1}^{n}{-x_i(y_i - mx_i - b)} $$

$$ \frac{\partial E}{\partial b} = \sum_{i=1}^{n}{-(y_i - mx_i - b)} $$

TODO 证明:

3.3.2 实例推演

现在我们有了一个二元二次方程组

$$ \begin{cases} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{-x_i(y_i - mx_i - b)} =0 \\ \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{-(y_i - mx_i - b)} =0 \\ \end{cases} $$

为了加强理解，我们用一个实际例子演练。

我们要用三个点 $(1,1), (2,2), (3,2)$ 来拟合一条直线 y = m*x + b, 请写出

  • 目标函数 $E$,
  • 二元二次方程组，
  • 并求解最优参数 $m, b$

TODO 写出目标函数，方程组和最优参数

3.3.3 将方程组写成矩阵形式

我们的二元二次方程组可以用更简洁的矩阵形式表达，将方程组写成矩阵形式更有利于我们使用 Gaussian Jordan 消元法求解。

请证明 $$ \begin{bmatrix} \frac{\partial E}{\partial m} \\ \frac{\partial E}{\partial b} \end{bmatrix} = X^TXh - X^TY $$

其中向量 $Y$, 矩阵 $X$ 和 向量 $h$ 分别为 : $$ Y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{bmatrix} , X = \begin{bmatrix} x_1 & 1 \\ x_2 & 1\\ ... & ...\\ x_n & 1 \\ \end{bmatrix}, h = \begin{bmatrix} m \\ b \\ \end{bmatrix} $$

TODO 证明:

至此我们知道，通过求解方程 $X^TXh = X^TY$ 来找到最优参数。这个方程十分重要，他有一个名字叫做 Normal Equation，也有直观的几何意义。你可以在 子空间投影 和 投影矩阵与最小二乘 看到更多关于这个方程的内容。

3.4 求解 $X^TXh = X^TY$

在3.3 中，我们知道线性回归问题等价于求解 $X^TXh = X^TY$ (如果你选择不做3.3，就勇敢的相信吧，哈哈)





In [ ]:



    


# TODO 实现线性回归
'''
参数：X, Y 存储着一一对应的横坐标与纵坐标的两个一维数组
返回：m，b 浮点数
'''
def linearRegression(X,Y):
    MX = [[val,1] for val in X]
    MXT = transpose(MX)
    result_left = matxMultiply(MXT,MX)
    MY = [[val] for val in Y]
    result_right = matxMultiply(MXT,MY)
    [[m],[b]]=gj_Solve(result_left,result_right)
    return (m,b)

m2,b2 = linearRegression(X,Y)
assert isinstance(m2,float),"m is not a float"
assert isinstance(b2,float),"b is not a float"
print(m2,b2)

你求得的回归结果是什么？ 请使用运行以下代码将它画出来。





In [ ]:



    


# 请不要修改下面的代码
x1,x2 = -5,5
y1,y2 = x1*m2+b2, x2*m2+b2

plt.xlim((-5,5))
plt.xlabel('x',fontsize=18)
plt.ylabel('y',fontsize=18)
plt.scatter(X,Y,c='b')
plt.plot((x1,x2),(y1,y2),'r')
plt.title('y = {m:.4f}x + {b:.4f}'.format(m=m2,b=b2))
plt.show()

你求得的回归结果对当前数据集的MSE是多少？





In [ ]:



    


print(calculateMSE(X,Y,m2,b2))

Content source: famunity/deep-learning-term1

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