9. Линейная регрессия

2. В четырехугольнике $ABCD$ независимые равные по точности измерения углов $ABD$, $DBC$, $ABC$, $BCD$, $CDB$, $BDA$, $CDA$, $DAB$ (в градусах) дали результаты $50.78$, $30.25$, $78.29$, $99.57$, $50.42$, $40.59$, $88.87$, $89.86$ соответственно. Считая, что ошибки измерений распределены нормально по закону $N(0, \sigma^2)$, найдите оптимальные оценки углов $\beta_1 = ABD$, $\beta_2 = DBC$, $\beta_3 = CDB$, $\beta_4 = BDA$ и неизвестной дисперсии $\sigma^2$. Численно посчитать можно в Python.



In [1]:

    
import numpy

Заметим, что $ABD = \beta_1$, $DBC = \beta_2$, $ABC = \beta_1 + \beta_2$, $BCD = 180 - \beta_2 - \beta_3$, $CDB = \beta_3$, $BDA= \beta_4$, $CDA = \beta_3 + \beta_4$, $DAB = 180 - \beta_1 - \beta_4$. Тогда:



In [2]:

    
X = numpy.array([
    [1, 0, 0, 0],
    [0, 1, 0, 0],
    [1, 1, 0, 0],
    [0, -1, -1, 0],
    [0, 0, 1, 0],
    [0, 0, 0, 1],
    [0, 0, 1, 1],
    [-1, 0, 0, -1]
])
Y = numpy.array([50.78, 30.25, 78.29, 99.57 - 180, 50.42, 40.59, 88.87, 89.86 - 180]).T



In [3]:

    
Beta = numpy.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ Y
print('Beta =', Beta)









    



Beta = [ 49.88  29.68  50.05  39.89]



In [4]:

    
n, k = X.shape
RSS = (Y - X @ Beta).T @ (Y - X @ Beta)
sigma2 = RSS / (n - k)
print('sigma^2 =', sigma2)









    



sigma^2 = 1.286625

Так как модель гауссовская, то эти оценки оптимальны.