Pennod 05: Mathemateg symbolaidd gyda Sympy

Mae'r daflen lab yma yn cyflwyno'r llyfrgell fathemategol Sympy sy'n gadael i ni gario allan mathemateg symbolaidd.

Wythnos diwethaf gwelon ni amryw o lyfrgelloedd gwahanol:



In [1]:

    
import random
import math

ac mae llawer mwy. Mae'r llyfrgelloedd yma yn rhan o'r ''llyfrgell safonol''. Mae hwn yn golygu eu bod yn dod gyda'r fersiwn Python sylfaenol. Mae amryw o llyfrgelloedd eraill yn bodoli a ddatblygwyd yn annibynnol. Mae rhai i rain yn dod gyda Anaconda.

Bydd y daflen lab yma yn cyflwyno un o'r llyfrgelloedd yma: SymPy sy'n galluogi ni i gwneud mathemateg symbolaidd.

1. Cyfrifiadau union

Fideo yn disgrifio'r cysyniad.

Fideo demo.

Yn defnyddio Python gallwch gyfrifo ail-israddau a gwerthoedd trigonometrig (gallwn wneud hyn trwy fewnforio'r llyfrgell math)::



In [2]:

    
import math
math.sqrt(20)









    Out[2]:





4.47213595499958



In [3]:

    
math.cos(math.pi / 4)









    Out[3]:





0.7071067811865476

Mae hwn yn iawn ar gyfer gwaith rhifiadol ond dim pan mae'n dod i gario allan cyfrifiadau mathemategol union, er enghraifft gwyddon fod:

$$ \cos(\pi / 4) = \sqrt{2} / 2 $$

Dyma le mae Sympy yn ddefnyddiol: gall cario allan cyfrifiadau mathemategol union:



In [4]:

    
import sympy as sym
sym.sqrt(20)









    Out[4]:





$\displaystyle 2 \sqrt{5}$



In [5]:

    
sym.cos(sym.pi / 4)









    Out[5]:





$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$

Mae hefyd yn rhoi rhifau cymhlyg:



In [6]:

    
sym.I ** 2









    Out[6]:





$\displaystyle -1$



In [7]:

    
sym.sqrt(-20)









    Out[7]:





$\displaystyle 2 \sqrt{5} i$

Mae gan Sympy nifer o ffwythiannau i drin rhifau naturiol:



In [8]:

    
N = 45 * 63
sym.isprime(N)









    Out[8]:





False



In [9]:

    
sym.primefactors(N)









    Out[9]:





[3, 5, 7]



In [10]:

    
all(sym.isprime(p) for p in sym.primefactors(N))  # Mae holl ffactoriau cysefin yn rhifau cysefin









    Out[10]:





True



In [11]:

    
sym.factorint(N)









    Out[11]:





{3: 4, 5: 1, 7: 1}



In [12]:

    
N == 3 ** 4 * 5 * 7  # Gwirio allbwn `factorint`









    Out[12]:





True

Ailadroddwch yr enghraifft uchod gyda gwerth gwahanol o N.

2. Mynegiadau symbolaidd

Fideo yn disgrifio'r cysyniad.

Fideo demo.

Gan ddefnyddio Sympy mae'n bosib cario allan cyfrifiadau symbolaidd. I wneud hwn mae angen creu achosion o ddosbarth Symbols Sympy.



In [13]:

    
x = sym.Symbol("x")
x









    Out[13]:





$\displaystyle x$



In [14]:

    
type(x)









    Out[14]:





sympy.core.symbol.Symbol

Yna gallwn drin y gwrthrych symbol yma heb roi gwerthoedd rhifol penodol iddo:



In [15]:

    
x + x









    Out[15]:





$\displaystyle 2 x$



In [16]:

    
x - x









    Out[16]:





$\displaystyle 0$



In [17]:

    
x ** 2









    Out[17]:





$\displaystyle x^{2}$

Mae gan Sympy ffwythiant defnyddiol symbols (gyda s bach) sy'n galluogi ni creu mwy nag un gwrthrych sympy.Symbol ar yr un pryd:



In [18]:

    
y, z = sym.symbols("y, z")
y, z









    Out[18]:





(y, z)

Gallwn drin mynegiannau symbolaidd gan ddefnyddio'r dulliau Sympy:

factor (ffactoreiddio)
expand (ehangu)

Fan hyn rydym yn cadarnhau rhyw fformiwla enwog:



In [19]:

    
myn = x ** 2 + 2 * x * y + y ** 2
myn









    Out[19]:





$\displaystyle x^{2} + 2 x y + y^{2}$



In [20]:

    
myn.factor()









    Out[20]:





$\displaystyle \left(x + y\right)^{2}$



In [21]:

    
myn = (x - y) * (x + y)
myn









    Out[21]:





$\displaystyle \left(x - y\right) \left(x + y\right)$



In [22]:

    
sym.expand(myn)  # Nodwch gallwn hefyd defnyddio `myn.expand`









    Out[22]:





$\displaystyle x^{2} - y^{2}$

Mae gan Sympy gorchymyn simplify sy'n bwerus iawn. Arbrofwch gyda rhain a hefyd gyda mynegiannau mwy cymhleth.

3. Hafaliadau symbolaidd

Fideo yn disgrifio'r cysyniad.

Fideo demo.

Gallwn ddefnyddio Sympy i ddatrys hafaliadau symbolaidd. Gadewch i ni ddatrys yr hafaliad symbolaidd canlynol:

$$ x ^ 2 + 3 x - 2 = 0 $$

Rydym yn gwneud hwn try defnyddio'r ffwythiant solveset:



In [23]:

    
sym.solveset(x ** 2 + 3 * x - 2, x)









    Out[23]:





$\displaystyle \left\{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}, - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{3}{2}\right\}$

Os oedd gan ein hafaliad ochr dde nad oedd yn sero mae dwy ffordd o deilo â hwn:

$$ x^2 + 3x - 2=y $$

1. Newid yr hafaliad fel ei bod yn cyfateb â hafaliad gyda sero ar yr ochr dde:



In [24]:

    
sym.solveset(x ** 2 + 3 * x - 2 - y, x)









    Out[24]:





$\displaystyle \left\{- \frac{\sqrt{4 y + 17}}{2} - \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{4 y + 17}}{2} - \frac{3}{2}\right\}$

2. Creu gwrthrych Eq:



In [25]:

    
haf = sym.Eq(x ** 2 + 3 * x - 2, y)
sym.solveset(haf, x)









    Out[25]:





$\displaystyle \left\{- \frac{\sqrt{4 y + 17}}{2} - \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{4 y + 17}}{2} - \frac{3}{2}\right\}$

Gallwn hefyd nodi parth. Er enghraifft mae gan yr hafaliad canlynol canlynol dau ddatrysiad (gan ei fod yn gwadratig):

$$ x^2 = -9 $$



In [26]:

    
sym.solveset(x ** 2 + 9, x)









    Out[26]:





$\displaystyle \left\{- 3 i, 3 i\right\}$

Ond os cyfyngwn ni ein hunain i'r rhifau real, dim hwn yw'r achos rhagor:



In [27]:

    
sym.solveset(x ** 2 + 9, x, domain=sym.S.Reals)









    Out[27]:





$\displaystyle \emptyset$

4. Calcwlws symbolaidd

Fideo yn disgrifio'r cysyniad.

Fideo demo.

Mae'n bosib cario allan amryw o weithrediadau calcwlws gan ddefnyddio Sympy:

Ystyriwch y ffwythiant:

$$ f(x) = 1 / x $$

I wneud hwn diffiniwn ffwythiant Python arferol:



In [28]:

    
def f(x):
    return 1 / x

a rhoi newidyn symbolaidd iddo:



In [29]:

    
f(x)









    Out[29]:





$\displaystyle \frac{1}{x}$

Gallwn gyfrifo'r terfannau yn $\pm\infty$



In [30]:

    
sym.limit(f(x), x, sym.oo)









    Out[30]:





$\displaystyle 0$



In [31]:

    
sym.limit(f(x), x, -sym.oo)









    Out[31]:





$\displaystyle 0$



In [32]:

    
sym.limit(f(x), x, +sym.oo)









    Out[32]:





$\displaystyle 0$

Gallwn gyfrifo'r terfan yn $0$ ond rhaid bod yn ofalus fan hyn (cofiwch o galcwlws sylfaenol bod y terfan yn dibynnu ar y cyfeiriad):



In [33]:

    
sym.limit(f(x), x, 0)  # Y cyfeiriad diofyn yw'r positive









    Out[33]:





$\displaystyle \infty$



In [34]:

    
sym.limit(f(x), x, 0, dir="+")









    Out[34]:





$\displaystyle \infty$



In [35]:

    
sym.limit(f(x), x, 0, dir="-")









    Out[35]:





$\displaystyle -\infty$

Gallwn ddefnyddio Sympy i ddifferu:



In [36]:

    
sym.diff(f(x), x)









    Out[36]:





$\displaystyle - \frac{1}{x^{2}}$



In [37]:

    
sym.diff(sym.cos(x), x)









    Out[37]:





$\displaystyle - \sin{\left(x \right)}$

Gallwn gario allan nifer o raddau o ddifferu. Mae'r rhain i gyd yn rhoi'r deilliad ail radd o $\cos(x)$:



In [38]:

    
sym.diff(sym.diff(sym.cos(x), x), x)









    Out[38]:





$\displaystyle - \cos{\left(x \right)}$



In [39]:

    
sym.diff(sym.cos(x), x, x)









    Out[39]:





$\displaystyle - \cos{\left(x \right)}$



In [40]:

    
sym.diff(sym.cos(x), x, 2)









    Out[40]:





$\displaystyle - \cos{\left(x \right)}$

Yn ogystal â differu gallwn hefyd integru.

Gallwn wneud integrynnau pendant ac integrynnau amhendant:



In [41]:

    
sym.integrate(f(x), x)  # Integryn amhendant









    Out[41]:





$\displaystyle \log{\left(x \right)}$



In [42]:

    
sym.integrate(f(x), (x, sym.exp(1), sym.exp(5)))  # Integryn pendant









    Out[42]:





$\displaystyle 4$

5. Hafaliadau differol

Fideo yn disgrifio'r cysyniad.

Fideo demo.

Gallwn ddefnyddio Sympy i ddatrys hafaliadau differol. Er enghraifft:

$$ \frac{dy}{dx} = y $$



In [43]:

    
y = sym.Function('y')
x = sym.symbols('x')
dat = sym.dsolve(sym.Derivative(y(x), x) - y(x), y(x))
dat









    Out[43]:





$\displaystyle y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x}$

Gwiriwn os yw'r datrysiad hwn yn gywir:



In [44]:

    
sym.diff(dat.rhs, x) == dat.rhs









    Out[44]:





True

Gallwn ddatrys hafaliadau differol o radd uwch. Er enghraifft, defnyddir yr hafaliad canlynol i fodelu lleoliad rhyw fàs ar linyn:

$$ m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0 $$



In [45]:

    
m, c, k, t = sym.symbols('m, c, k, t')
x = sym.Function("x")
sym.dsolve(m * sym.Derivative(x(t), t, 2) + c * sym.Derivative(x(t), t) + k * x(t), x(t))









    Out[45]:





$\displaystyle x{\left(t \right)} = C_{1} e^{\frac{t \left(- c - \sqrt{c^{2} - 4 k m}\right)}{2 m}} + C_{2} e^{\frac{t \left(- c + \sqrt{c^{2} - 4 k m}\right)}{2 m}}$

Gallwn ddatrys system o hafaliadau differol fel y rhain:

$$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} & = 1-y\\ \frac{dy}{dt} & = 1-x\\ \end{aligned} $$



In [46]:

    
eq1 = sym.Derivative(x(t), t) - 1 + y(t)
eq2 = sym.Derivative(y(t), t) - 1 + x(t)
sym.dsolve((eq1, eq2))









    Out[46]:





[Eq(x(t), -C1*exp(t) - C2*exp(-t) + 1), Eq(y(t), C1*exp(t) - C2*exp(-t) + 1)]

Rhoddir y datrysiad:

$$ \begin{align} x(t) & =-C_1e^{-t}-C_2e^{t} + 1\\ y(t) & =-C_1e^{-t}-C_2e^{t} + 1\\ \end{align} $$

6. Dangos allbynnau gyda $\LaTeX$

Fideo yn disgrifio'r cysyniad.

Fideo demo.

Gallwn ddefnyddio $\LaTeX$ i dangos allbwn Sympy mewn ffordd sy'n haws i bobl darllen:



In [47]:

    
sym.init_printing()
m, c, k, t = sym.symbols('m, c, k, t')
x = sym.Function("x")
sym.dsolve(m * sym.Derivative(x(t), t, 2) + c * sym.Derivative(x(t), t) + k * x(t), x(t))









    Out[47]:





$\displaystyle x{\left(t \right)} = C_{1} e^{\frac{t \left(- c - \sqrt{c^{2} - 4 k m}\right)}{2 m}} + C_{2} e^{\frac{t \left(- c + \sqrt{c^{2} - 4 k m}\right)}{2 m}}$

Weithiau mae'n ddefnyddiol diffodd hwn (er enghraifft os oeddwn angen copïo a gludo allbwn):



In [48]:

    
sym.init_printing(False)
m, c, k, t = sym.symbols('m, c, k, t')
x = sym.Function("x")
sym.dsolve(m * sym.Derivative(x(t), t, 2) + c * sym.Derivative(x(t), t) + k * x(t), x(t))









    Out[48]:





Eq(x(t), C1*exp(t*(-c - sqrt(c**2 - 4*k*m))/(2*m)) + C2*exp(t*(-c + sqrt(c**2 - 4*k*m))/(2*m)))

Ymarferion

Dyma nifer o ymarferion sy'n bosib cwblhau trwy ddefnyddio Sympy:

Defnyddio rhifyddeg union;
Trin newidynnau symbolaidd yn algebraidd;
Terfannau, differu ac integru;
Datrys hafaliadau differol.

Ymarfer 1.

Defnyddiwch SymPy i ysgrifennu'r $10^3$ rhif cysefin cyntaf i ffeil. Cymharwch hwn i'r ffeil cysefin.csv (lawrlwytho) (nid gyda llaw!) a gwirio os yw'n unfath.

Mae angen gwneud bach o waith i ddarganfod sut i eneradu rhifau cysefin gan ddefnyddio sympy. Bydd rhaid chwilio.



In [49]:

    
sym.prime(5)  # y 5ed rhif cysefin yw 11









    Out[49]:





11



In [50]:

    
# generadwn y 10 ** 3 rhif cysefin cyntaf: gall hwn cymryd spel
rhifau_cysefin = [sym.prime(k) for k in range(1, 10 ** 3 + 1)]



In [51]:

    
# Gadewch i ni darllen y rhifau cysefin i ffeil:
with open("cysefin.csv", 'r') as f:
    rhifau_cysefin_o_ffeil = f.read().split('\n')
rhifau_cysefin_o_ffeil[:5]  # Gweld y 5 cyntaf









    Out[51]:





['2', '3', '5', '7', '11']



In [52]:

    
rhifau_cysefin_o_ffeil[-5:]  # Gweld y 5 olaf









    Out[52]:





['15485843', '15485849', '15485857', '15485863', '']



In [53]:

    
rhifau_cysefin_o_ffeil[:10 ** 3] == [str(p) for p in rhifau_cysefin]  # Rydym ni ond yn ystyried y 10 ** 3 rhif cyntaf yn y ffeil









    Out[53]:





True

Ymarfer 2.

Defnyddiwch ddull simplify Sympy (ar y cyd gyda phethau eraill) i wirio'r unfathiannau trigonometrig canlynol:

$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$
$2\cos(\theta) \sin(\theta) = \sin(2\theta)$
$(1 - \cos(\theta)) / 2 = \sin^2(\theta / 2)$
$\cos(n\pi)=(-1) ^ n$ (for $n\in\mathbb{Z}$) (Awgrym: bydd angen i chi edrych ar yr opsiynau gallwch basio i symbols er mwyn gwneud hwn)



In [54]:

    
theta = sym.symbols('theta')
(sym.sin(theta) ** 2 + sym.cos(theta) ** 2).simplify()  == 1









    Out[54]:





True



In [55]:

    
(2 * sym.cos(theta) * sym.sin(theta)).simplify() == sym.sin(2 * theta)









    Out[55]:





True

Mae angen gweithio bach yn galetach i wirio'r hafaliad fan hyn, cymerwch y gwahaniaeth a gweld ei fod yn hafal i 0.



In [56]:

    
((1 - sym.cos(theta)) / 2 - sym.sin(theta / 2) ** 2).simplify()









    Out[56]:





0

Gwelwn pa opsiynau gallwn basio i symbols:



In [57]:

    
sym.symbols?



In [58]:

    
n = sym.symbols('n', integer=True)
sym.cos(n * sym.pi).simplify()









    Out[58]:





(-1)**n

Ymarfer 3.

Nod y cwestiwn yma yw archwilio i mewn i ddiffiniad y deilliad:

$$ \frac{df}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Ystyriwch $f(x) = x^3 + 3x - 20$;
Cyfrifwch $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$;
Cyfrifwch y terfan uchod wrth i $h\to 0$ a gwirio taw hwn yw deilliad $f$.



In [59]:

    
def f(x):
    return x ** 3 + 3 * x - 20



In [60]:

    
h, x = sym.symbols('h, x')
rhs = (f(x + h) - f(x)) / h
rhs









    Out[60]:





(3*h - x**3 + (h + x)**3)/h



In [61]:

    
sym.limit(rhs, h, 0)









    Out[61]:





3*x**2 + 3



In [62]:

    
sym.diff(f(x), x)









    Out[62]:





3*x**2 + 3

Ymarfer 4.

Canfyddwch ddatrysiad cyffredinol y 4 hafaliad differol:

$\frac{dy}{dx}-6y=3e^x$
$\frac{dy}{dx}+\frac{x(2x-3)}{x^2+1}=\sin(x)$
$\frac{d^2y}{dx^2}-y=\sin(5x)$
$\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}+2x=\cosh(x)$



In [63]:

    
haf1 = sym.Derivative(y(x), x) - 6 * y(x) - 3 * sym.exp(x)
dat1 = sym.dsolve(haf1, y(x))
dat1









    Out[63]:





Eq(y(x), (C1 - 3*exp(-5*x)/5)*exp(6*x))



In [64]:

    
haf2 = sym.Derivative(y(x), x) + x * (2 * x - 3) / (x ** 2 + 1) - sym.sin(x)
dat2 = sym.dsolve(haf2, y(x))
dat2









    Out[64]:





Eq(y(x), C1 - 2*x + 3*log(x**2 + 1)/2 - cos(x) + 2*atan(x))



In [65]:

    
haf3 = sym.Derivative(y(x), x, 2) - y(x) - sym.sin(5 * x)
dat3 = sym.dsolve(haf3, y(x))
dat3









    Out[65]:





Eq(y(x), C1*exp(-x) + C2*exp(x) - sin(5*x)/26)



In [66]:

    
haf4 = sym.Derivative(y(x), x, 2) +  2 * sym.Derivative(y(x), x) + 2 * x - sym.cosh(x)
dat4 = sym.dsolve(haf4, y(x))
dat4









    Out[66]:





Eq(y(x), C1 + C2*exp(-2*x) - x**2/2 + x/2 + 2*sinh(x)/3 - cosh(x)/3)

Ymarfer5.

Gallwn fodelu brwydr rhwng dwy fyddin gyda'r set o hafaliadau differol canlynol:

$$ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = - y\\ \frac{dy}{dt} = -5x \end{cases} $$

Canfyddwch ddatrysiad i'r system yma o hafaliadau.



In [67]:

    
x, y = sym.Function('x'), sym.Function('y')
haf1 = sym.Derivative(x(t), t) + y(t)
haf2 = sym.Derivative(y(t), t) + 5 * x(t)
dats = sym.dsolve((haf1, haf2))
dats









    Out[67]:





[Eq(x(t), -C1*exp(sqrt(5)*t) - C2*exp(-sqrt(5)*t)), Eq(y(t), sqrt(5)*C1*exp(sqrt(5)*t) - sqrt(5)*C2*exp(-sqrt(5)*t))]

Pennod 05: Mathemateg symbolaidd gyda Sympy

1. Cyfrifiadau union

2. Mynegiadau symbolaidd

3. Hafaliadau symbolaidd

4. Calcwlws symbolaidd

5. Hafaliadau differol

6. Dangos allbynnau gyda $\LaTeX$

Ymarferion

Ymarfer 1.

Ymarfer 2.

Ymarfer 3.

Ymarfer 4.

Ymarfer5.

Adnoddau pellach