Las caminatas aleatorias o random walks son procesos que describen cuerpos que se desplazan de una forma aleatoria, llegando hasta un punto final determinado por su caminata.
Pero, ¡ojo!, hemos mencionado un concepto fundamental para este proceso, que el recorrido del cuerpo es aleatorio. Y cuando hablamos de cosas aleatorias, hablamos de probabilidad.
La aleatoriedad es aquella incertidumbre de no saber cuál será el resultado antes de que suceda el evento. Esto es muy importante para el movimiento browniano puesto que muchas veces las partículas se mueven de forma impredecible, pero de esto más a continuación.
Pero incluso aunque queramos hablar de números aleatorios tenemos que introducir más conceptos de probabilidad.
Estos conceptos son muy simples de entender; por ejemplo, una variable estadística es un conjunto de atributos de un objeto, atributos como color, forma, material, entre muchas otras cosas; de esta forma, podemos juntar los conceptos de variable estadística y aleatoriedad para hacer un nuevo concepto, ¡la variable aleatoria!
Una variable aleatoria es aquella variable, es decir, conjunto de atributos, que están sujetos a un cambio que no se puede predecir hasta que sucede, así se entiende que el cambio en sus atributos es totalmente aleatorio. Pero ahora nos encontramos con otra situación, ¡existen varios tipos de variables aleatorias! Pero también son fáciles de explicar, veamos.
Sólo nos faltan unos cuantos concepto más y ya casi estamos listos para explicar los números aleatorios. Necesitamos introducir la distribución de probabilidad son valores que nos dicen qué chance tenemos de obtener un resultado deseado de un evento o experimento. Un ejemplo muy fácil es el siguiente: se debe imaginar que se tiene una moneda con dos caras, entonces, sólo hay dos posibles resultados del evento de lanzar una moneda, o nos cae una cara (águila) o la otra (sol). Por lo tanto, la distribución de probabilidad de este evento son los valores $0.5$ y $0.5$, puesto que sólo hay dos posibles opciones (águila o sol) y sólo nos puede salir una opción al mismo tiempo, es decir, $\frac{1}{2}$.
Por último, tenemos la función de densidad de probabilidad (FDP), y esta función es muy simple de entender, es la que se encarga de "repartir" las probabilidades de un evento dadas por la distribución de probabilidad.
¡Listo! Ahora estamos listos para saber que es un número aleatorio. Dada una distribución de probabilidad, un número aleatorio se escoge mediante una función de densidad de probabilidad que siga a la distribución dada de tal forma que, si se generaran muchos números aleatorios, formase la distribución de probabilidad escogida en un inicio.
Una forma simple de generar una caminata aleatoria es mediante generar movimientos aleatorios a un cuerpo. Es decir, darle una posición inicial al cuerpo, decirle hacia donde se puede mover, esto es, restringir sus movimientos hacia arriba, abajo, derecha o izquierda y luego generar estos números aleatoriamente. Claro que esta aproximación requiere de variables aleatorias y distribuciones de probabilidad, pero podemos visualizar una caminata aleatoria de la siguiente forma.
In [2]:
%matplotlib inline
import matplotlib as mpl
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import numpy as np
# Tamaño de fuente para la gráfica
mpl.rcParams['legend.fontsize'] = 10
# Definir una gráfica de tipo 3D
fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
xyz = []
cur = [0, 0, 0]
# Iterar sobre 6 posiciones aleatoriamente
for _ in xrange(500):
axis = random.randrange(0, 3)
cur[axis] += random.choice([-1, 1])
xyz.append(cur[:])
# Graficar los puntos obtenidos
x, y, z = zip(*xyz)
ax.plot(x, y, z)
ax.legend()
plt.title('Caminata aleatoria')
plt.show()
Otra forma de ver las caminatas aleatorias es mediante la distribución de Rayleigh, pero para esto, uno se debe familiarizar uno con la distribución normal. Esta es una distribución muy famosa acreditada a Karl Gauss y la cual aparece en todos los libros de texto porque es una distribución muy importante para los procesos de la vida cotidiana. La FDP de la distribución normal está dada por $$f\left(x\ \vert\ \mu,\sigma^2\right) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left({- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\right)$$
Entonces, una caminata aleatoria está dada por la FDP de la distribución de Rayleigh acreditada a Lord Rayleigh y la cual está basada en la distribución normal, el hecho es que esta nueva distribución de Rayleigh toma en cuenta ahora la probabilidad de moverse al rededor del espacio, y por eso se tiene la $n$ en la FDP. La FDP se ve de la siguiente forma. $$ f\left(r_n\right) = \frac{r_n}{n \sigma^2} \exp\left(-\frac{r_n^2}{2n \sigma^2}\right) $$
Algunas de estas FDP (distribución de Rayleigh) pueden ser graficadas dado un número limitado de pasos, partículas y posiciones, como se ve a continuación.
In [6]:
%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
def rayleigh(x0, n, dt, delta):
x0 = np.asfarray(x0)
shp = (n+1,) + x0.shape
# Utilizar distribución normal como "plantilla" para generar la de Rayleigh
r = np.random.normal(size=shp, scale=delta*np.sqrt(dt))
r[0] = 0.0
x = r.cumsum(axis=0)
x += x0
return x
xinicial = np.zeros(1) # número de partículas
n = 500
dt = 10.0
delta = 0.25
xini = np.array(rayleigh(xinicial, n, dt, delta))
yini = np.array(rayleigh(xinicial, n, dt, 0.25))
zini = np.array(rayleigh(xinicial, n, dt, 0.2))
# *--- Plot en 3D ---*
# Crear mapa de colores
number = 1 # número de color por partícula
cmap = plt.get_cmap('gnuplot')
colors = [cmap(i) for i in np.linspace(0, 1, number)]
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
for i, color in enumerate(colors, start=1):
xini = np.array(rayleigh(xinicial, n, dt, i))
ax.scatter(xini, yini, zini, color=color)
plt.show()
Muchos matemáticos intentaron describir y darle solución al movimiento browniano y el comportamiento de los gases dentro de contenedores, ¿porqué se mueven así? ¿Porqué tienen patrones muy similares? No fue hasta que Einstein trató de darle solución a este problema, y luego corroborarse mediante el trabajo de Perrin.
Einstein lo también lo vio desde la perspectiva de la probabilidad, pero desde un punto de vista de la difusión de la concentración de una sustancia dentro de un contenedor. Einstein imaginó que la sustancia iba a cambiar de posición de acuerdo a la proporción de concentración molar con respecto a un volumen, entonces, quiso determinar la posición de estas partículas (llamadas partículas brownianas) mediante su desplazamiento cuadrático medio, hizo todo los cálculos necesarios para llegar a la forma $$ \rho\left(x,t\right) = \frac{N}{\sqrt{4 \pi D t}} \exp\left(- \frac{x^2}{4Dt}\right) $$
Esta FDP se puede simplificar mediante el uso del proceso de Wiener, descrito con la forma $$ f_{W_t}\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \exp{- \frac{x^2}{2t}} ,$$ que se puede ver en el código siguiente.
In [4]:
%matplotlib inline
from scipy.stats import norm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
def brownian(x0, n, dt, delta, out=None):
x0 = np.asarray(x0)
r = norm.rvs(size=x0.shape + (n,), scale=delta*np.sqrt(dt))
if out is None:
out = np.empty(r.shape)
np.cumsum(r, axis=1, out=out)
out += np.expand_dims(x0, axis=-1)
return out
def main():
delta = 0.25
T = 10.0
N = 1000
dt = T/N
x = np.empty((3,N+1))
x[:, 0] = np.zeros(3)
for _ in xrange(500):
brownian(x[:, 0], N, dt, delta, out=x[:,1:])
#plot in 2D
plt.plot(x[0], x[1])
plt.title('Movimiento browniano 2D')
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.show()
#plot in 3D
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot(x[0], x[1],x[2])
plt.title('Movimiento browniano en 3D')
if __name__ == "__main__":
main()
El movimiento browniano es un fenómeno físico que no debe de ser tomado a la ligera. Mucho de lo que sucede para que este fenómeno aparezca tiene que ver con temas avanzados de mecánica estadística, la rama de la física que describe el comportamiento de la termodinámica. Si bien podemos llegar a buenas aproximaciones mediante el uso de random walks, el movimiento browniano requiere de muchas consideraciones físicas, como temperatura, volumen, entropía y energía interna del sistema estudiado. Este fenómeno ha sido estudiado por muchas de las mentes más brillantes de la física y aún así existen preguntas sin responder, pero al menos tenemos una herramienta para poder ver estos comportamientos mediante una simulación por computadora.