

In [2]:

    
diff_methods(3)









    




Diferenciación numérica






    




Polinomio interpolante
Como primer paso se construyen los polinomios de Lagrange asociados a cada uno de los 3 puntos $x_i$ solicitados para la interpolación. Tenga en cuenta que los polinomios serán de grado 2.







    





$$L_{i,n}(x) = \prod_{j=0 \ j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$






    





$$L_{{0,3}}(x)=\frac{\left(x - x_{1}\right) \left(x - x_{2}\right)}{\left(x_{0} - x_{1}\right) \left(x_{0} - x_{2}\right)}$$






    





$$L_{{1,3}}(x)=\frac{\left(x - x_{0}\right) \left(x - x_{2}\right)}{\left(- x_{0} + x_{1}\right) \left(x_{1} - x_{2}\right)}$$






    





$$L_{{2,3}}(x)=\frac{\left(x - x_{0}\right) \left(x - x_{1}\right)}{\left(- x_{0} + x_{2}\right) \left(- x_{1} + x_{2}\right)}$$






    




Ahora, con los polinomios de Lagrange construidos y la evaluación de la función en los puntos, construimos el polinomio interpolante de grado 2, que suponemos como aproximación a la función.







    





$$P_3(x)=\frac{\left(x - x_{0}\right) \left(x - x_{1}\right) f{\left (x_{2} \right )}}{\left(- x_{0} + x_{2}\right) \left(- x_{1} + x_{2}\right)} + \frac{\left(x - x_{0}\right) \left(x - x_{2}\right) f{\left (x_{1} \right )}}{\left(- x_{0} + x_{1}\right) \left(x_{1} - x_{2}\right)} + \frac{\left(x - x_{1}\right) \left(x - x_{2}\right) f{\left (x_{0} \right )}}{\left(x_{0} - x_{1}\right) \left(x_{0} - x_{2}\right)}$$






    




Derivada analitica
Usando el polinomio interpolante, derivamos analiticamente respecto a la variable $x$, y obtenemos la siguiente aproximación.







    





$$\frac{df(x)}{dx}\approx\frac{L_3(x)}{dx}=\frac{\left(x - x_{0}\right) f{\left (x_{2} \right )}}{\left(- x_{0} + x_{2}\right) \left(- x_{1} + x_{2}\right)} + \frac{\left(x - x_{0}\right) f{\left (x_{1} \right )}}{\left(- x_{0} + x_{1}\right) \left(x_{1} - x_{2}\right)} + \frac{\left(x - x_{1}\right) f{\left (x_{0} \right )}}{\left(x_{0} - x_{1}\right) \left(x_{0} - x_{2}\right)} + \frac{\left(x - x_{1}\right) f{\left (x_{2} \right )}}{\left(- x_{0} + x_{2}\right) \left(- x_{1} + x_{2}\right)} + \frac{\left(x - x_{2}\right) f{\left (x_{0} \right )}}{\left(x_{0} - x_{1}\right) \left(x_{0} - x_{2}\right)} + \frac{\left(x - x_{2}\right) f{\left (x_{1} \right )}}{\left(- x_{0} + x_{1}\right) \left(x_{1} - x_{2}\right)}$$






    




Ahora, sustituimos la condición de puntos equidistantes con separación $h$ y factorizando.







    




Diferencias hacia atras, $x_i \rightarrow x_0 - (2-i)h$, y posteriormente $x \rightarrow x_0$.







    





$$\left.\frac{df(x)}{dx}\right|_{x=x_0}\approx\frac{1}{2 h} \left(3 f{\left (x_{0} \right )} + f{\left (- 2 h + x_{0} \right )} - 4 f{\left (- h + x_{0} \right )}\right)$$






    




Diferencias hacia adelante, $x_i \rightarrow x_0 + ih$, y posteriormente $x \rightarrow x_0$.







    





$$\left.\frac{df(x)}{dx}\right|_{x=x_0}\approx\frac{1}{2 h} \left(- 3 f{\left (x_{0} \right )} + 4 f{\left (h + x_{0} \right )} - f{\left (2 h + x_{0} \right )}\right)$$






    




Diferencias centradas, $x_i \rightarrow x_0 + \left(i - \frac{3 - 1}{2}\right)h$, y posteriormente $x \rightarrow x_0$.







    





$$\left.\frac{df(x)}{dx}\right|_{x=x_0}\approx\frac{1}{2 h} \left(- f{\left (- h + x_{0} \right )} + f{\left (h + x_{0} \right )}\right)$$