La programación lineal es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) funciones lineales, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también lineales.
Referencias:
Hasta acá, tiempos exponenciales de solución. Lo siguiente, tiempo polinomial.
Mencionar complejidad computacional.
Ya la clase pasada habíamos mencionado que cuando se quería optimizar una función de varias variables con restricciones, se podía aplicar siempre el método de Multiplicadores de Lagrange. Sin embargo, este método es computacionalmente muy complejo conforme crece el número de variables.
Por tanto, cuando la función a optimizar y las restricciones son de caracter lineal, los métodos de solución que se pueden desarrollar son computacionalmente eficientes, por lo que es útil realizar la distinción.
De acuerdo a lo descrito anteriormente, un problema de programación lineal puede escribirse en la siguiente forma:
\begin{equation} \begin{array}{ll} \min_{x_1,\dots,x_n} & f_1x_1+\dots+f_nx_n \\ \text{s. a. } & a^{eq}_{j,1}x_1+\dots+a^{eq}_{j,n}x_n=b^{eq}_j \text{ para } 1\leq j\leq m_1 \\ & a_{k,1}x_1+\dots+a_{k,n}x_n\leq b_k \text{ para } 1\leq k\leq m_2, \end{array} \end{equation}donde:
Equivalentemente, el problema puede escribirse como
\begin{equation} \begin{array}{ll} \min_{\boldsymbol{x}} & \boldsymbol{f}^T\boldsymbol{x} \\ \text{s. a. } & \boldsymbol{A}_{eq}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}_{eq} \\ & \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\leq\boldsymbol{b}, \end{array} \end{equation}donde:
Nota: el problema $\max_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})$ es equivalente a $\min_{\boldsymbol{x}}-\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})$.
Una compañía produce dos productos ($X_1$ y $X_2$) usando dos máquinas ($A$ y $B$). Cada unidad de $X_1$ que se produce requiere 50 minutos en la máquina $A$ y 30 minutos en la máquina $B$. Cada unidad de $X_2$ que se produce requiere 24 minutos en la máquina $A$ y 33 minutos en la máquina $B$.
Al comienzo de la semana hay 30 unidades de $X_1$ y 90 unidades de $X_2$ en inventario. El tiempo de uso disponible de la máquina $A$ es de 40 horas y el de la máquina $B$ es de 35 horas.
La demanda para $X_1$ en la semana actual es de 75 unidades y de $X_2$ es de 95 unidades. La política de la compañía es maximizar la suma combinada de unidades de $X_1$ e $X_2$ en inventario al finalizar la semana.
Formular el problema de decidir cuánto hacer de cada producto en la semana como un problema de programación lineal.
Sean:
Notar que lo que se quiere es maximizar $x_1+x_2$.
Restricciones:
Finalmente, el problema puede ser expresado en la forma explicada como: \begin{equation} \begin{array}{ll} \min_{x_1,x_2} & -x_1-x_2 \\ \text{s. a. } & 0x_1+0x_2=0 \\ & 50x_1+24x_2\leq 2400 \\ & 30x_1+33x_2\leq 2100 \\ & -x_1\leq -45 \\ & -x_2\leq -5, \end{array} \end{equation}
o, eqivalentemente \begin{equation} \begin{array}{ll} \min_{\boldsymbol{x}} & \boldsymbol{f}^T\boldsymbol{x} \\ \text{s. a. } & \boldsymbol{A}_{eq}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}_{eq} \\ & \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\leq\boldsymbol{b}, \end{array} \end{equation} con
Preferiremos, en adelante, la notación vectorial/matricial.
Este problema está sencillo pues solo es en dos variables. La solución gráfica es válida.
In [1]:
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
import numpy as np
In [3]:
def res1(x1):
return (2400-50*x1)/24
def res2(x1):
return (2100-30*x1)/33
In [5]:
x1 = np.linspace(40, 50)
r1 = res1(x1)
r2 = res2(x1)
In [22]:
plt.figure(figsize = (8,6))
plt.plot(x1, res1(x1), 'b--', label = 'res1')
plt.plot(x1, res2(x1), 'r--', label = 'res2')
plt.plot([45, 45], [0, 25], 'k', label = 'res3')
plt.plot([40, 50], [5, 5], 'm', label = 'res4')
plt.fill_between(np.array([45.0, 45.6]), res1(np.array([45.0, 45.6])), 5*np.ones(2))
plt.text(44,4,'$(45,5)$',fontsize=10)
plt.text(45.1,6.35,'$(45,6.25)$',fontsize=10)
plt.text(45.6,4,'$(45.6,5)$',fontsize=10)
plt.legend(loc = 'best')
plt.xlabel('$x_1$')
plt.ylabel('$x_2$')
plt.show()
Actividad. Mónica hace aretes y cadenitas de joyería. Es tan buena, que todo lo que hace lo vende.
Le toma 30 minutos hacer un par de aretes y una hora hacer una cadenita, y como Mónica también es estudihambre, solo dispone de 10 horas a la semana para hacer las joyas. Por otra parte, el material que compra solo le alcanza para hacer 15 unidades (el par de aretes cuenta como unidad) de joyas por semana.
La utilidad que le deja la venta de las joyas es \$15 en cada par de aretes y \$20 en cada cadenita.
¿Cuántos pares de aretes y cuántas cadenitas debería hacer Mónica para maximizar su utilidad?
Formular el problema en la forma explicada y obtener la solución gráfica (puede ser a mano).
Diez minutos: quien primero lo haga, pasará a explicarlo al tablero y le subiré la nota de alguna tarea en la que no haya sacado 100. Debe salir a explicar el problema en el pizarrón.
conda install -c conda-forge pyomo pyomo.extras, y luego conda install -c cachemeorg glpk ipopt_bin.conda install -c conda-forge pyomo pyomo.extras, y luego conda install -c conda-forge glpk ipopt.Subir lo anterior en un archivo comprimido llamado Tarea6_ApellidoNombre.