In [2]:
let print = Printf.printf;;
Sys.command "ocaml -version";;
Out[2]:
Out[2]:
In [3]:
print_endline
Out[3]:
On prend un petit exemple de graphe avec lequel on va travailler, pour vérifier que chaque représentation permet bien de le représenter.
Graphe :
0 - 1
0 - 2
In [4]:
type sommet = int;;
Out[4]:
On supposera que les sommets sont toujours numérotés de $0$ à $n-1$.
Pour des graphes non orientés, on doit stocker deux fois chaque arête : $a \to b$ et $b \to a$.
On suppose aussi que des arêtes de la forme $a - a$ ne sont pas considérées : pas de boucle sur soi-même ! Ca simplifie les codes...
Plutôt que d'utiliser des bool, on utilise 0 et 1 pour facilement compter le nombre d'arêtes en sommant le nombre de 1.
(en plus, ça s'écrit plus vite !)
In [5]:
type graphe_mat = int array array;;
Out[5]:
In [6]:
let g1__mat : graphe_mat = [|
[| 0; 1; 1 |]; (* 0 -- 1 et 0 -- 2 *)
[| 1; 0; 0 |]; (* 1 -- 0 *)
[| 1; 0; 0 |] (* 2 -- 0 *)
|]
;;
Out[6]:
In [7]:
type graphe_adj = (sommet list) array;;
Out[7]:
In [8]:
let g1__adj : graphe_adj = [|
[1; 2]; (* 0 -- 1 et 0 -- 2 *)
[0]; (* 1 -- 0 *)
[0] (* 2 -- 0 *)
|];;
Out[8]:
In [9]:
type arete = sommet * sommet;;
type graphe_art = arete list;;
Out[9]:
Out[9]:
In [10]:
let g1__art : graphe_art = [
(0, 1); (0, 2); (* 0 -- 1 et 0 -- 2 *)
(1, 0); (* 1 -- 0 *)
(2, 0) (* 2 -- 0 *)
];;
Out[10]:
Pour graphe_mat, nb_sommets est en $\mathcal{O}(1)$ et nb_arcs est en $\mathcal{O}(n^2)$.
In [11]:
let somme_tableau = Array.fold_left (+) 0;;
let somme_matrice = Array.fold_left (fun x a -> x + (somme_tableau a)) 0;;
Out[11]:
Out[11]:
In [12]:
let nb_sommets__mat (g : graphe_mat) : int = Array.length g ;;
nb_sommets__mat g1__mat;;
let nb_arcs__mat (g : graphe_mat) : int = (somme_matrice g) / 2 ;;
nb_arcs__mat g1__mat;;
Out[12]:
Out[12]:
Out[12]:
Out[12]:
Pour graphe_adj, nb_sommets est en $\mathcal{O}(1)$ et nb_arcs est en $\mathcal{O}(n)$.
In [13]:
let somme_list = List.fold_left (+) 0;;
Out[13]:
In [14]:
let nb_sommets__adj (g : graphe_adj) : int = Array.length g ;;
nb_sommets__adj g1__adj;;
let nb_arcs__adj (g : graphe_adj) : int = (somme_list (Array.to_list (Array.map List.length g))) / 2 ;;
nb_arcs__adj g1__adj;;
Out[14]:
Out[14]:
Out[14]:
Out[14]:
Pour graphe_art, nb_sommets est en $\mathcal{O}(n)$ et nb_arcs est en $\mathcal{O}(1)$.
In [15]:
let max_list = List.fold_left max min_int;;
max_list [1; 3; 4; 19];;
Out[15]:
Out[15]:
In [16]:
let max_list_couple l =
let g, d = List.split l in
max (max_list g) (max_list d)
;;
Out[16]:
In [17]:
let nb_sommets__art (g : graphe_art) : int = 1 + (max_list_couple g);;
nb_sommets__art g1__art;;
let nb_arcs__art (g : graphe_art) : int = (List.length g) / 2 ;;
nb_arcs__art g1__art;;
Out[17]:
Out[17]:
Out[17]:
Out[17]:
La définition des types est assez explicite. On utilise le même exemple de graphe :
0 -[2]- 1
0 -[3]- 2
In [18]:
type poids = int;;
Out[18]:
None indique une absence d'arête, Some x une arête pondérée par x.
Aucune raison qu'on ne puisse pas pondérer par 0, donc utiliser seulement 0 pour indiquer une absence d'arête ne marchera pas.
In [19]:
type graphe_mat_pond = (poids option) array array;;
Out[19]:
In [20]:
let g1__mat_pond : graphe_mat_pond = [|
[| None; Some 2; Some 3 |]; (* 0 -[2]- 1 et 0 -[3]- 2 *)
[| Some 2; None; None |]; (* 1 -[2]- 0 *)
[| Some 3; None; None |] (* 2 -[3]- 0 *)
|]
;;
Out[20]:
C'est plus facile :
In [21]:
type graphe_adj_pond = ((sommet * poids) list) array;;
Out[21]:
In [22]:
let g1__adj_pond : graphe_adj_pond = [|
[(1, 2); (2, 3)]; (* 0 -[2]- 1 et 0 -[3]- 2 *)
[(0, 2)]; (* 1 -[2]- 0 *)
[(0, 3)] (* 2 -[3]- 0 *)
|];;
Out[22]:
C'est très facile :
In [23]:
type arete_pond = sommet * poids * sommet;;
type graphe_art_pond = arete_pond list;;
Out[23]:
Out[23]:
In [24]:
let g1__art_pond : graphe_art_pond = [
(0, 2, 1); (0, 3, 2); (* 0 -[2]- 1 et 0 -[3]- 2 *)
(1, 2, 0); (* 1 -[2]- 0 *)
(2, 3, 0) (* 2 -[3]- 0 *)
];;
Out[24]:
La définition des types est assez explicite. On utilise le même exemple de graphe :
0 [rouge] -- 1 [bleu]
0 [rouge] -- 2 [vert]
In [25]:
type couleur = int;;
let rouge : couleur = 1 and bleu : couleur = 2 and vert : couleur = 3;;
Out[25]:
Out[25]:
C'est moins facile ! On est obligé d'ajouter une structure qui contient la liste des couleurs séparément... Et donc ce n'est pas très intéressant...
In [26]:
type graphe_mat_color = { mat : int array array; couleurs : couleur array } ;;
Out[26]:
In [27]:
let g1__mat_color : graphe_mat_color = { mat = [|
[| 0; 1; 1 |]; (* 0 -- 1 et 0 -- 2 *)
[| 1; 0; 0 |]; (* 1 -- 0 *)
[| 1; 0; 0 |] (* 2 -- 0 *)
|];
couleurs = [| rouge; bleu; vert |]
};;
Out[27]:
In [28]:
type graphe_adj_color = { adj : (sommet list) array; couleurs : couleur array } ;;
Out[28]:
In [29]:
let g1__adj_color : graphe_adj_color = { adj = [|
[1; 2]; (* 0 -- 1 et 0 -- 2 *)
[0]; (* 1 -- 0 *)
[0] (* 2 -- 0 *)
|];
couleurs = [| rouge; bleu; vert |]
}
Out[29]:
In [30]:
type graphe_art_color = { art : arete list; couleurs : couleur array } ;;
Out[30]:
In [31]:
let g1__art_color : graphe_art_color = { art = [
(0, 1); (0, 2); (* 0 -- 1 et 0 -- 2 *)
(1, 0); (* 1 -- 0 *)
(2, 0) (* 2 -- 0 *)
];
couleurs = [| rouge; bleu; vert |]
}
Out[31]:
Pour graphe_mat, degres est en $\mathcal{O}(n^2)$.
In [32]:
let degres__mat (g : graphe_mat) : int array = Array.map somme_tableau g ;;
degres__mat g1__mat;;
Out[32]:
Out[32]:
Pour graphe_adj, degres est en $\mathcal{O}(n)$.
In [33]:
let degres__adj (g : graphe_adj) : int array = Array.map List.length g ;;
degres__adj g1__adj;;
Out[33]:
Out[33]:
Pour graphe_art, degres est en $\mathcal{O}(n^2)$.
In [34]:
g1__art
Out[34]:
In [35]:
let degres__art (g : graphe_art) : int array =
let n = nb_sommets__art g in
Array.init n (fun i ->
List.length (List.filter (fun (a, _) -> a = i) g)
)
;;
degres__art g1__art;;
Out[35]:
Out[35]:
Pour la suite, on choisit les représentations qui sont les plus adaptées aux algorithmes qu'on doit écrire.
Pour les deux parcours, l'implémentation sous forme de listes d'adjacence fonctionne très bien.
Les deux algorithmes sont très similaires, et sont en $\mathcal{O}(|A|)$ ($|A|$ étant le nombre d'arêtes, si $G=(S,A)$), si on utilise une structure de pile/file qui est efficace (insertion, suppression en $\mathcal{O}(1)$).
On va être un peu fainéant, et ces deux parcours ne renverront rien, ils vont juste afficher les sommets dans l'ordre dans lesquels on les voit.
On pourrait utiliser une référence d'une liste (list ref) pour ajouter les sommets un à un.
In [36]:
let profondeur_iter (g : graphe_adj) (debut : sommet) : unit =
let vu = Array.make (nb_sommets__adj g) false in
let pile = Stack.create () in
Stack.push debut pile;
vu.(debut) <- true;
while not (Stack.is_empty pile) do
let i = Stack.pop pile in
Printf.printf "visite(%d)\n" i;
flush_all();
(* Complexité O(deg(i)) pour le sommet i *)
List.iter (fun j -> if not vu.(j) then begin
Stack.push j pile;
vu.(j) <- true
end)
g.(i)
done
(* donc en tout, complexité en Sigma_i O(deg(i)) = |E| *)
;;
Out[36]:
On remarque qu'on parcourt les sommets de "la droite vers la gauche" dans cet exemple.
In [37]:
g1__adj;;
Out[37]:
In [38]:
profondeur_iter g1__adj 0;;
Out[38]:
C'est magique, le code est exactement le même, avec Queue en lieu et place de Stack.
On a déjà vu tout ça, vous devriez être capable de le réécrire rapidement !
In [39]:
let largeur_iter (g : graphe_adj) (debut : sommet) : unit =
let vu = Array.make (nb_sommets__adj g) false in
let file = Queue.create () in
Queue.push debut file;
vu.(debut) <- true;
while not (Queue.is_empty file) do
let i = Queue.pop file in
Printf.printf "visite(%d)\n" i;
flush_all();
List.iter (fun j -> if not vu.(j) then begin
Queue.push j file;
vu.(j) <- true
end)
g.(i)
done
;;
Out[39]:
On remarque qu'on parcourt les sommets de "la gauche vers la droite" dans cet exemple.
In [40]:
g1__adj;;
Out[40]:
In [41]:
largeur_iter g1__adj 0;;
Out[41]:
Vous pouvez aussi faire des versions récursives de ces parcours.
Un graphe est connexe si et seulement si chaque sommet est relié à tout autre sommet (par un chemin de longueur un ou plus). On écrit d'abord une fonction qui vérifie que tous les sommets sont accessibles depuis un sommet, puis on vérifiera que ce prédicat est vrai pour tous les sommets.
In [42]:
let tous_vrais = Array.fold_left (&&) true;;
Out[42]:
In [43]:
let tous_accessibles (g : graphe_adj) (debut : sommet) : bool =
let vu = Array.make (nb_sommets__adj g) false in
let file = Queue.create () in
Queue.push debut file;
vu.(debut) <- true; (* on ne peut pas se passer du tableau vu *)
while not (Queue.is_empty file) do
let i = Queue.pop file in
List.iter (fun j -> if not vu.(j) then begin (* car utile ici *)
Queue.push j file;
vu.(j) <- true
end)
g.(i)
done;
(* mais a la fin on s'en sert juste pour ce test *)
tous_vrais vu
;;
Out[43]:
In [44]:
tous_accessibles g1__adj 0;;
tous_accessibles g1__adj 1;;
tous_accessibles g1__adj 2;;
Out[44]:
Out[44]:
Out[44]:
In [45]:
let est_connexe (g : graphe_adj) : bool =
let n = nb_sommets__adj g in
tous_vrais (Array.init n (fun i -> tous_accessibles g i));
;;
Out[45]:
In [46]:
est_connexe g1__adj;;
Out[46]:
Et avec un exemple de graphe non connexe :
In [47]:
let g2__adj : graphe_adj = [|
[1; 2]; (* 0 -- 1 et 0 -- 2 *)
[0]; (* 1 -- 0 *)
[0]; (* 2 -- 0 *)
[4]; (* 3 -- 4 *)
[3]; (* 4 -- 3 *)
|];;
Out[47]:
In [48]:
largeur_iter g2__adj 0;;
largeur_iter g2__adj 3;;
Out[48]:
Out[48]:
In [49]:
est_connexe g2__adj;;
Out[49]:
Un arbre est un graphe connexe acyclique.
Je vous laisse réfléchir par vous-même pour le second point. (Exemple)
Si besoin, voici une correction.
In [64]:
let rec est_cyclique_aux (g : graphe_adj) (v : sommet) (vu : bool array) (parent : sommet) =
vu.(v) <- true; (* v est vu ! *)
let res = ref false in
let indice = ref 0 in
let gv = Array.of_list g.(v) in (* la conversion prend un temps O(deg(v)) une fois *)
while (not !res) && (!indice < Array.length gv) do
let i = gv.(!indice) in (* comme ca cette lecture prend O(1) chaque fois *)
incr indice;
if not vu.(i) then begin
if (est_cyclique_aux g i vu v) then
res := true;
end
else begin
if parent != i then
res := true
end
done;
!res
;;
Out[64]:
In [65]:
let est_cyclique (g : graphe_adj) : bool =
let n = nb_sommets__adj g in
let vu = Array.make n false in
let res = ref false in
for i = 0 to n - 1 do
if not vu.(i) then begin
if est_cyclique_aux g i vu (-1) then
res := true;
end
done;
!res
;;
Out[65]:
In [66]:
let absence_cycle (g : graphe_adj) : bool =
not (est_cyclique g)
;;
Out[66]:
In [67]:
let est_arbre (g : graphe_adj) : bool =
(est_connexe g) && (absence_cycle g)
;;
Out[67]:
In [68]:
est_cyclique g1__adj;;
est_arbre g1__adj;;
Out[68]:
Out[68]:
In [69]:
est_cyclique g2__adj;;
est_arbre g2__adj;;
Out[69]:
Out[69]:
Et avec un exemple de graphe connexe mais avec un cycle :
In [70]:
let g3__adj : graphe_adj = [|
[1; 2]; (* 0 -- 1 et 0 -- 2 *)
[0; 2]; (* 1 -- 0 et 1 -- 2 *)
[0; 1]; (* 2 -- 0 et 2 -- 1 *)
|];;
Out[70]:
In [71]:
est_connexe g3__adj;;
est_arbre g3__adj;;
Out[71]:
Out[71]:
Pour chaque sommet, on fait un parcours en largeur, et on ajoute tous les sommets visités dans la même composante connexe. Dès qu'un nouveau sommet n'a pas encore été visité, on commence une nouvelle composante connexe.
Cet algorithme est en $\mathcal{O}(n)$, au pire chaque sommet est visité exactement une fois.
In [72]:
let composantes_connexes (g : graphe_adj) : sommet list list =
let n = nb_sommets__adj g in
let vu = Array.make n false in
let cc_courante = ref [] in
let rec visite (i : sommet) : unit =
Printf.printf "visite(%d)\n" i; (* permet de vérifier que chaque sommet n'est visité qu'une seule fois ! *)
flush_all();
vu.(i) <- true;
cc_courante := i :: !cc_courante;
(* cette opération est linéaire en deg(i) le degré de i *)
List.iter (fun j -> if not vu.(j) then visite j) g.(i)
in
let cc = ref [] in
for i = 0 to n - 1 do
(* au pire, on est en O(somme deg(i)) = O(n^2) *)
(* mais en fait un sommet deja vu ne sera pas considere par la suite *)
(* donc on est en O(n) en fait ! *)
if not vu.(i) then begin
visite i; (* au pire, chaque visite est en O(deg(i)) *)
cc := !cc_courante :: !cc;
cc_courante := []
end
done;
!cc
;;
Out[72]:
In [73]:
composantes_connexes g1__adj;;
Out[73]:
In [74]:
composantes_connexes g2__adj;;
Out[74]:
Le $2$-coloriage est très facile : si un seul sommet a un degré $\geq 3$, ce n'est pas possible. Si tous les sommets ont un degrés $\leq 2$, on part d'un sommet (pour chaque composante connexe) et on alterne entre deux couleurs en parcourant la composante connexe...
Cet algorithme est aussi en $\mathcal{O}(n)$.
In [77]:
type deuxcouleur = Blanc | Noir;; (* on pourrait utiliser bool *)
Out[77]:
In [78]:
let alterne_couleur = function (* avec bool, cette fonction serait... juste not *)
| Blanc -> Noir
| Noir -> Blanc
;;
Out[78]:
In [63]:
let max_array = Array.fold_left max min_int;;
Out[63]:
In [81]:
let deuxcoloriage (g : graphe_adj) : deuxcouleur array =
let n = nb_sommets__adj g in
let vu = Array.make n false in
let couleurs = Array.make n Blanc in
let cc = composantes_connexes g in
let rec visite_et_colorie_en_alternance (c : deuxcouleur) (i : sommet) : unit =
Printf.printf "visite(%d)\n" i;
flush_all();
vu.(i) <- true;
couleurs.(i) <- c;
List.iter (fun j ->
if not vu.(j) then
visite_et_colorie_en_alternance (alterne_couleur c) j
else begin
if couleurs.(j) = c then failwith "2-coloriage impossible."
end
) g.(i)
in
List.iter (visite_et_colorie_en_alternance Blanc) (List.map List.hd cc);
couleurs
;;
Out[81]:
In [82]:
deuxcoloriage g1__adj;;
Out[82]:
Pour le deuxième exemple, on voit que la seconde composante connexe $\{3, 4\}$ est coloriée avec deux couleurs aussi.
In [83]:
deuxcoloriage g2__adj;;
Out[83]:
In [84]:
let g3__adj : graphe_adj = [|
[1; 2; 3]; (* 0 -- 1 et 0 -- 2 et 0 -- 3 *)
[0]; (* 1 -- 0 *)
[0]; (* 2 -- 0 *)
[0]; (* 3 -- 0 *)
|];;
Out[84]:
In [85]:
deuxcoloriage g3__adj;;
Out[85]:
Et un graphe non coloriable, avec une 3-clique $0 - 1 - 2$ :
In [86]:
let g4__adj : graphe_adj = [|
[1; 2; 3]; (* 0 -- 1 et 0 -- 2 et 0 -- 3 *)
[0; 2]; (* 1 -- 0 et 1 -- 2 *)
[0; 1]; (* 2 -- 0 et 2 -- 1 *)
[0]; (* 3 -- 0 *)
|];;
Out[86]:
In [87]:
deuxcoloriage g4__adj;;
Je vous laisse lire cette page
(perso.crans.org/besson/agreg/modelisation/projet_2/).
Cherchez en ligne pour plus d'informations.
On compte le nombre de sommets de degrés impairs, et un chemin eulérien existe si et seulement s'il y en a zéros ou deux.
In [106]:
let existe_cycle_eulerien (g : graphe_adj) : bool =
let deg = Array.to_list (degres__adj g) in
let nb_deg_impair = List.length (List.filter (fun i -> i mod 2 = 0) deg) in
nb_deg_impair = 0 || nb_deg_impair = 2
;;
Out[106]:
In [107]:
existe_cycle_eulerien g1__adj;;
Out[107]:
In [108]:
existe_cycle_eulerien g2__adj;;
Out[108]:
In [109]:
existe_cycle_eulerien g3__adj;;
Out[109]:
Pour trouver un chemin eulérien, on applique l'algorithme suivant (dû à Rosentielh, aussi attribué à Hierholzer (1873)).
Étant donné les conditions sur le graphe, construire un chemin ou un cycle n'est pas compliqué : il suffit de partir de l'origine, de prendre la première arête rencontrée et de recommencer récursivement.