Chapter 3: 数学編

紹介するモジュール

モジュールの利用

モジュールを利用する場合，以下のように書く．

import module # moduleの利用
module.function() # module内にある関数functionを使う

毎回moduleと書くことはプログラムを長くする可能性があり不便だ．そのため，以下のような書き方もできる．

from module import function # module内の関数functionのみを読み込む
function()

この書き方の場合，module内の関数functionのみを読み込んでいるため，module内の他の関数を利用することはできない．

また，モジュール名や関数名を置き換えるときに，asという予約語を用いる．例えば，次のように書くことできる

import numpy as np # numpyというモジュールをnpと表す
print(np.e)

3-1. math

mathモジュールは，Pythonの標準ライブラリに含まれている．

mathモジュールには，例えば次のような関数がある．

math.sqrt: 平方根
math.exp: 指数関数
math.sin: sin関数



In [1]:

    
import math
print(math.sqrt(2))
print(math.exp(2))
print(math.sin(2))









    



1.4142135623730951
7.38905609893065
0.9092974268256817

他にも次のような定数も利用できる．

math.pi
math.e



In [2]:

    
print(math.pi, math.e)









    



3.141592653589793 2.718281828459045

3-2. Numpy

特徴

Pythonで数学を扱う場合，必ずといっていいほど利用されるモジュール．
行列演算をサポート
通常のPythonを使うよりも数倍の速度で演算できる

よく利用されるメソッド

numpy配列

Pythonのデータ構造にあるリストとは別に，numpyを利用した配列がある．

1次元のときはベクトル，2次元では行列，3次元以上はテンソルに対応する．



In [3]:

    
import numpy as np
vec = np.array([[1, 2]]) # 1次元の配列をNumpy配列(ベクトル)にする
matrix = np.array([[1, 3], [6, 4]]) # 2次元の配列をNumpy配列(行列)にする
print(vec)
print(matrix)









    



[[1 2]]
[[1 3]
 [6 4]]

すべての要素が1や0になる特殊なメソッドがある．



In [4]:

    
print(np.ones(3)) # 3次元の1ベクトル
print(np.zeros(3)) # 3次元の0ベクトル
print(np.ones((2, 3))) #2x3次元の1行列
print(np.zeros((2, 3))) #2x3次元の0行列









    



[ 1.  1.  1.]
[ 0.  0.  0.]
[[ 1.  1.  1.]
 [ 1.  1.  1.]]
[[ 0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.]]



In [5]:

    
print("dtype", matrix.dtype) # 型を表示する
print("shape", matrix.shape) # サイズ(次元)









    



dtype int64
shape (2, 2)

行列の要素積や行列積の計算

注意点

np.arrayとnp.matrixでは挙動が異なる
- np.arrayでは* で要素積になるが，np.matrixでは行列積になる



In [6]:

    
A = np.array([[1, 3], [6, 4]])
print("*演算:\n", A*A) # 行列Aどうしの要素積
print("np.dot:\n", np.dot(A, A)) # 行列Aどうしの行列積

B = np.matrix([[1, 3], [6, 4]])
print("*演算:\n", B*B) # 行列Bどうしの行列積
print("np.dot:\n", np.dot(B, B)) # 行列Bどうしの行列積









    



*演算:
 [[ 1  9]
 [36 16]]
np.dot:
 [[19 15]
 [30 34]]
*演算:
 [[19 15]
 [30 34]]
np.dot:
 [[19 15]
 [30 34]]

よく使うサブモジュール，関数

np.linalg: 線形代数モジュール
- np.linalg.inv: 逆行列を求める関数
- np.linalg.eig: 固有値，固有ベクトルを求める関数
np.random: 乱数モジュール

3-3. Scipy

ScipyモジュールはNumpyの拡張モジュールであり，よく利用されるモジュール．
科学技術に関わる計算アルゴリズムの多くが実装されているので，自作するよりもここを調べるといい．

特徴

Numpyよりも高度な数学関数が用意されている．
最適化や高速フーリエ変換なども扱う

よく使うサブモジュール

scipy.linalg: 線形代数
scipy.optimize: 最適化
scipy.sparse: 疎行列に対する処理
scipy.stats: 統計処理

例題 2-3-1. 連続最適化



In [7]:

    
from scipy.optimize import fmin_bfgs
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

def f(x):
    return x ** 2 + 17 * np.sin(x)

x = np.arange(-10, 10, 0.1)
plt.plot(x, f(x))









    Out[7]:





[<matplotlib.lines.Line2D at 0x10833ae48>]



In [8]:

    
x_star = fmin_bfgs(f, 0) # 関数f(x)の最適化(最小値をとるxを求める)









    



Optimization terminated successfully.
         Current function value: -14.792859
         Iterations: 6
         Function evaluations: 21
         Gradient evaluations: 7



In [10]:

    
plt.xlim(-10, 10)
plt.plot(x, f(x))
plt.scatter(x_star, f(x_star), c='red');