Clusterização e algoritmo K-means
Organizar dados em agrupamentos é um dos modos mais fundamentais de compreensão e aprendizado. Como por exemplo, os organismos em um sistema biologico são classificados em domínio, reino, filo, classe, etc. A análise de agrupamento é o estudo formal de métodos e algoritmos para agrupar objetos de acordo com medidas ou características semelhantes. A análise de cluster, em sua essência, não utiliza rótulos de categoria que marcam objetos com identificadores anteriores, ou seja, rótulos de classe. A ausência de informação de categoria distingue o agrupamento de dados (aprendizagem não supervisionada) da classificação ou análise discriminante (aprendizagem supervisionada). O objetivo da clusterização é encontrar estruturas em dados e, portanto, é de natureza exploratória.
A técnica de Clustering tem uma longa e rica história em uma variedade de campos científicos. Um dos algoritmos de clusterização mais populares e simples, o K-means, foi publicado pela primeira vez em 1955. Apesar do K-means ter sido proposto há mais de 50 anos e milhares de algoritmos de clustering terem sido publicados desde então, o K-means é ainda amplamente utilizado.
Fonte: Anil K. Jain, Data clustering: 50 years beyond K-means, Pattern Recognition Letters, Volume 31, Issue 8, 2010
Carregue os dados disponibilizados, e identifique visualmente em quantos grupos os dados parecem estar distribuídos.
In [2]:
# import libraries
# linear algebra
import numpy as np
# data processing
import pandas as pd
# data visualization
from matplotlib import pyplot as plt
In [4]:
# load the data with pandas
dataset = pd.read_csv('dataset.csv', header=None)
dataset = np.array(dataset)
plt.scatter(dataset[:,0], dataset[:,1], s=10)
plt.show()
In [5]:
# Selecionar três centróides
cluster_center_1 = np.array([2,3])
cluster_center_2 = np.array([6,6])
cluster_center_3 = np.array([10,1])
# Gerar amostras aleátorias a partir dos centróides escolhidos
cluster_data_1 = np.random.randn(100, 2) + cluster_center_1
cluster_data_2 = np.random.randn(100,2) + cluster_center_2
cluster_data_3 = np.random.randn(100,2) + cluster_center_3
new_dataset = np.concatenate((cluster_data_1, cluster_data_2,
cluster_data_3), axis = 0)
plt.scatter(new_dataset[:,0], new_dataset[:,1], s=10)
plt.show()
Nesta etapa você irá implementar as funções que compõe o algoritmo do KMeans uma a uma. É importante entender e ler a documentação de cada função, principalmente as dimensões dos dados esperados na saída.
A primeira etapa do algoritmo consiste em inicializar os centróides de maneira aleatória. Essa etapa é uma das mais importantes do algoritmo e uma boa inicialização pode diminuir bastante o tempo de convergência.
Para inicializar os centróides você pode considerar o conhecimento prévio sobre os dados, mesmo sem saber a quantidade de grupos ou sua distribuição.
Dica: https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.random.uniform.html
In [6]:
def calculate_initial_centers(dataset, k):
"""
Inicializa os centróides iniciais de maneira arbitrária
Argumentos:
dataset -- Conjunto de dados - [m,n]
k -- Número de centróides desejados
Retornos:
centroids -- Lista com os centróides calculados - [k,n]
"""
#### CODE HERE ####
minimum = np.min(dataset, axis=0)
maximum = np.max(dataset, axis=0)
shape = [k, dataset.shape[1]]
centroids = np.random.uniform(minimum, maximum, size=shape)
### END OF CODE ###
return centroids
Teste a função criada e visualize os centróides que foram calculados.
In [9]:
k = 3
centroids = calculate_initial_centers(dataset, k)
plt.scatter(dataset[:,0], dataset[:,1], s=10)
plt.scatter(centroids[:,0], centroids[:,1], marker='^', c='red',s=100)
plt.show()
Na segunda etapa do algoritmo serão definidos o grupo de cada dado, de acordo com os centróides calculados.
Codifique a função de distância euclidiana entre dois pontos (a, b).
Definido pela equação:
$$ dist(a, b) = \sqrt{(a_1-b_1)^{2}+(a_2-b_2)^{2}+ ... + (a_n-b_n)^{2}} $$$$ dist(a, b) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^{2}} $$
In [10]:
def euclidean_distance(a, b):
"""
Calcula a distância euclidiana entre os pontos a e b
Argumentos:
a -- Um ponto no espaço - [1,n]
b -- Um ponto no espaço - [1,n]
Retornos:
distance -- Distância euclidiana entre os pontos
"""
#### CODE HERE ####
distance = np.sqrt(np.sum(np.square(a-b)))
### END OF CODE ###
return distance
Teste a função criada.
In [11]:
a = np.array([1, 5, 9])
b = np.array([3, 7, 8])
if (euclidean_distance(a,b) == 3):
print("Distância calculada corretamente!")
else:
print("Função de distância incorreta")
Utilizando a função de distância codificada anteriormente, complete a função abaixo para calcular o centroid mais próximo de um ponto qualquer.
Dica: https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.argmin.html
In [12]:
def nearest_centroid(a, centroids):
"""
Calcula o índice do centroid mais próximo ao ponto a
Argumentos:
a -- Um ponto no espaço - [1,n]
centroids -- Lista com os centróides - [k,n]
Retornos:
nearest_index -- Índice do centróide mais próximo
"""
#### CODE HERE ####
distance_zeros = np.zeros(centroids.shape[0])
for index, centroid in enumerate(centroids):
distance = euclidean_distance(a, centroid)
distance_zeros[index] = distance
nearest_index = np.argmin(distance_zeros)
### END OF CODE ###
return nearest_index
Teste a função criada
In [13]:
# Seleciona um ponto aleatório no dataset
index = np.random.randint(dataset.shape[0])
a = dataset[index,:]
# Usa a função para descobrir o centroid mais próximo
idx_nearest_centroid = nearest_centroid(a, centroids)
# Plota os dados ------------------------------------------------
plt.scatter(dataset[:,0], dataset[:,1], s=10)
# Plota o ponto aleatório escolhido em uma cor diferente
plt.scatter(a[0], a[1], c='magenta', s=30)
# Plota os centroids
plt.scatter(centroids[:,0], centroids[:,1], marker='^', c='red', s=100)
# Plota o centroid mais próximo com uma cor diferente
plt.scatter(centroids[idx_nearest_centroid,0],
centroids[idx_nearest_centroid,1],
marker='^', c='springgreen', s=100)
# Cria uma linha do ponto escolhido para o centroid selecionado
plt.plot([a[0], centroids[idx_nearest_centroid,0]],
[a[1], centroids[idx_nearest_centroid,1]],c='orange')
plt.annotate('CENTROID', (centroids[idx_nearest_centroid,0],
centroids[idx_nearest_centroid,1],))
plt.show()
Utilizando a função anterior que retorna o índice do centroid mais próximo, calcule o centroid mais próximo de cada dado do dataset.
In [14]:
def all_nearest_centroids(dataset, centroids):
"""
Calcula o índice do centroid mais próximo para cada
ponto do dataset
Argumentos:
dataset -- Conjunto de dados - [m,n]
centroids -- Lista com os centróides - [k,n]
Retornos:
nearest_indexes -- Índices do centróides mais próximos - [m,1]
"""
#### CODE HERE ####
nearest_indexes = np.zeros(dataset.shape[0])
for index, a in enumerate(dataset):
nearest_indexes[index] = nearest_centroid(a, centroids)
### END OF CODE ###
return nearest_indexes
Teste a função criada visualizando os cluster formados.
In [15]:
nearest_indexes = all_nearest_centroids(dataset, centroids)
In [16]:
plt.scatter(dataset[:,0], dataset[:,1], c=nearest_indexes)
plt.scatter(centroids[:,0], centroids[:,1], marker='^', c='red', s=100)
plt.show()
Após formar os clusters, como sabemos se o resultado gerado é bom? Para isso, precisamos definir uma métrica de avaliação.
O algoritmo K-means tem como objetivo escolher centróides que minimizem a soma quadrática das distância entre os dados de um cluster e seu centróide. Essa métrica é conhecida como inertia.
$$\sum_{i=0}^{n}\min_{c_j \in C}(||x_i - c_j||^2)$$A inertia, ou o critério de soma dos quadrados dentro do cluster, pode ser reconhecido como uma medida de o quão internamente coerentes são os clusters, porém ela sofre de alguns inconvenientes:
Fonte: https://scikit-learn.org/stable/modules/clustering.html
Para podermos avaliar os nosso clusters, codifique a métrica da inertia abaixo, para isso você pode utilizar a função de distância euclidiana construída anteriormente.
$$inertia = \sum_{i=0}^{n}\min_{c_j \in C} (dist(x_i, c_j))^2$$
In [17]:
def inertia(dataset, centroids, nearest_indexes):
"""
Soma das distâncias quadradas das amostras para o
centro do cluster mais próximo.
Argumentos:
dataset -- Conjunto de dados - [m,n]
centroids -- Lista com os centróides - [k,n]
nearest_indexes -- Índices do centróides mais próximos - [m,1]
Retornos:
inertia -- Soma total do quadrado da distância entre
os dados de um cluster e seu centróide
"""
#### CODE HERE ####
inertia = 0
for index, centroid in enumerate(centroids):
dataframe = dataset[nearest_indexes == index,:]
for a in dataframe:
inertia += np.square(euclidean_distance(a,centroid))
### END OF CODE ###
return inertia
Teste a função codificada executando o código abaixo.
In [18]:
tmp_data = np.array([[1,2,3],[3,6,5],[4,5,6]])
tmp_centroide = np.array([[2,3,4]])
tmp_nearest_indexes = all_nearest_centroids(tmp_data, tmp_centroide)
if inertia(tmp_data, tmp_centroide, tmp_nearest_indexes) == 26:
print("Inertia calculada corretamente!")
else:
print("Função de inertia incorreta!")
In [19]:
# Use a função para verificar a inertia dos seus clusters
inertia(dataset, centroids, nearest_indexes)
Out[19]:
Nessa etapa, os centróides são recomputados. O novo valor de cada centróide será a media de todos os dados atribuídos ao cluster.
In [20]:
def update_centroids(dataset, centroids, nearest_indexes):
"""
Atualiza os centroids
Argumentos:
dataset -- Conjunto de dados - [m,n]
centroids -- Lista com os centróides - [k,n]
nearest_indexes -- Índices do centróides mais próximos - [m,1]
Retornos:
centroids -- Lista com centróides atualizados - [k,n]
"""
#### CODE HERE ####
for index, centroid in enumerate(centroids):
dataframe = dataset[nearest_indexes == index,:]
if(dataframe.size != 0):
centroids[index] = np.mean(dataframe, axis=0)
### END OF CODE ###
return centroids
Visualize os clusters formados
In [21]:
nearest_indexes = all_nearest_centroids(dataset, centroids)
# Plota os os cluster ------------------------------------------------
plt.scatter(dataset[:,0], dataset[:,1], c=nearest_indexes)
# Plota os centroids
plt.scatter(centroids[:,0], centroids[:,1], marker='^', c='red', s=100)
for index, centroid in enumerate(centroids):
dataframe = dataset[nearest_indexes == index,:]
for data in dataframe:
plt.plot([centroid[0], data[0]], [centroid[1], data[1]],
c='lightgray', alpha=0.3)
plt.show()
Execute a função de atualização e visualize novamente os cluster formados
In [22]:
centroids = update_centroids(dataset, centroids, nearest_indexes)
Utilizando as funções codificadas anteriormente, complete a classe do algoritmo K-means!
In [23]:
class KMeans():
def __init__(self, n_clusters=8, max_iter=300):
self.n_clusters = n_clusters
self.max_iter = max_iter
def fit(self,X):
# Inicializa os centróides
self.cluster_centers_ = calculate_initial_centers(X, self.n_clusters)
# Computa o cluster de cada amostra
self.labels_ = all_nearest_centroids(X, self.cluster_centers_)
# Calcula a inércia inicial
old_inertia = inertia(X, self.cluster_centers_, self.labels_)
for index in range(self.max_iter):
#### CODE HERE ####
self.cluster_centers_ = update_centroids(X, self.cluster_centers_, self.labels_)
self.labels_ = all_nearest_centroids(X, self.cluster_centers_)
self.inertia_ = inertia(X, self.cluster_centers_, self.labels_)
if(old_inertia == self.inertia_):
break
else:
old_inertia = self.inertia_
### END OF CODE ###
return self
def predict(self, X):
return all_nearest_centroids(X, self.cluster_centers_)
Verifique o resultado do algoritmo abaixo!
In [25]:
kmeans = KMeans(n_clusters=3)
kmeans.fit(dataset)
print("Inércia = ", kmeans.inertia_)
plt.scatter(dataset[:,0], dataset[:,1], c=kmeans.labels_)
plt.scatter(kmeans.cluster_centers_[:,0],
kmeans.cluster_centers_[:,1], marker='^', c='red', s=100)
plt.show()
Use a implementação do algoritmo do scikit-learn do K-means para o mesmo conjunto de dados. Mostre o valor da inércia e os conjuntos gerados pelo modelo. Você pode usar a mesma estrutura da célula de código anterior.
Dica: https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.cluster.KMeans
In [26]:
from sklearn.cluster import KMeans as scikit_KMeans
scikit_kmeans = scikit_KMeans(n_clusters=3)
scikit_kmeans.fit(dataset)
print("Inércia = ", scikit_kmeans.inertia_)
plt.scatter(dataset[:,0], dataset[:,1], c=scikit_kmeans.labels_)
plt.scatter(scikit_kmeans.cluster_centers_[:,0],
scikit_kmeans.cluster_centers_[:,1], c='red')
plt.show()
Implemete o método do cotovelo e mostre o melhor K para o conjunto de dados.
In [27]:
n_clusters_test = 8
n_sequence = np.arange(1, n_clusters_test+1)
inertia_vec = np.zeros(n_clusters_test)
for index, n_cluster in enumerate(n_sequence):
inertia_vec[index] = KMeans(n_clusters=n_cluster).fit(dataset).inertia_
plt.plot(n_sequence, inertia_vec, 'ro-')
plt.show()
Exercícios
1 - Aplique o algoritmo do K-means desenvolvido por você no datatse iris [1]. Mostre os resultados obtidos utilizando pelo menos duas métricas de avaliação de clusteres [2].
Dica: você pode utilizar as métricas completeness e homogeneity.
2 - Tente melhorar o resultado obtido na questão anterior utilizando uma técnica de mineração de dados. Explique a diferença obtida.
Dica: você pode tentar normalizar os dados [3].
3 - Qual o número de clusteres (K) você escolheu na questão anterior? Desenvolva o Método do Cotovelo sem usar biblioteca e descubra o valor de K mais adequado. Após descobrir, utilize o valor obtido no algoritmo do K-means.
4 - Utilizando os resultados da questão anterior, refaça o cálculo das métricas e comente os resultados obtidos. Houve uma melhoria? Explique.
In [ ]:
#### CODE HERE ####