# Serie de Taylor

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^{n}$$

## Expansión hacia adelante

\begin{equation*} f(x) \approx f(a) + f'(a) (x - a) + \frac{1}{2} f''(a) (x - a)^{2} + \frac{1}{6} f'''(a) (x - a)^{3} + \cdots \end{equation*}

Usando un cambio de variable $x - a = h$

\begin{equation*} f(x) \approx f(a) + f'(a) h + \frac{1}{2} f''(a) h^{2} + \frac{1}{6} f'''(a) h^{3} + \cdots \end{equation*}

Reemplazando $a = x - h$

\begin{equation*} f(x) \approx f(x - h) + f'(x - h) h + \frac{1}{2} f''(x - h) h^{2} + \frac{1}{6} f'''(x - h) h^{3} + \cdots \end{equation*}

Usando un cambio de variable $x = x_{i}$

\begin{equation*} f(x_{i}) \approx f(x_{i} - h) + f'(x_{i} - h) h + \frac{1}{2} f''(x_{i} - h) h^{2} + \frac{1}{6} f'''(x_{i} - h) h^{3} + \cdots \end{equation*}

Reemplazando $x_{i} - h = x_{i-1}$

\begin{equation*} f(x_{i}) \approx f(x_{i-1}) + f'(x_{i-1}) h + \frac{1}{2} f''(x_{i-1}) h^{2} + \frac{1}{6} f'''(x_{i-1}) h^{3} + \cdots \end{equation*}

Recorriendo los índices

$$f(x_{i+1}) \approx f(x_{i}) + f'(x_{i}) h + \frac{1}{2} f''(x_{i}) h^{2} + \frac{1}{6} f'''(x_{i}) h^{3} + \cdots$$

## Expansión hacia atrás

La expansión hacia adelante puede escribirse como

\begin{equation*} f(x_{i} + h) \approx f(x_{i}) (h)^{0} + f'(x_{i}) (h)^{1} + \frac{1}{2} f''(x_{i}) (h)^{2} + \frac{1}{6} f'''(x_{i}) (h)^{3} + \cdots \end{equation*}

Entonces la expansión hacia atrás será

\begin{equation*} f(x_{i} - h) \approx f(x_{i}) (-h)^{0} + f'(x_{i}) (-h)^{1} + \frac{1}{2} f''(x_{i}) (-h)^{2} + \frac{1}{6} f'''(x_{i}) (-h)^{3} + \cdots \end{equation*}

Simplificando

$$f(x_{i-1}) \approx f(x_{i}) - f'(x_{i}) h + \frac{1}{2} f''(x_{i}) h^{2} - \frac{1}{6} f'''(x_{i}) h^{3} + \cdots$$

## Primera diferencia hacia adelante

Usando dos términos de la serie de Taylor expandida hacia adelante

\begin{equation*} f(x_{i+1}) \approx f(x_{i}) + f'(x_{i}) h \end{equation*}

Despejando la primera derivada

$$f'(x_{i}) = \frac{f(x_{i+1}) - f(x_{i})}{h}$$


In [1]:

def g(x):
resultado = - 0.1*x**4 - 0.15*x**3 - 0.5*x**2 - 0.25*x + 1.2

derivada = (f(x+h) - f(x))/h




In [2]:




f'(0.5) = -1.1546875



## Primera diferencia hacia atrás

Usando dos términos de la serie de Taylor expandida hacia atrás

\begin{equation*} f(x_{i-1}) \approx f(x_{i}) - f'(x_{i}) h \end{equation*}

Despejando la primera derivada

$$f'(x_{i}) = \frac{f(x_{i}) - f(x_{i-1})}{h}$$


In [3]:

def fx_atras(f,x,h):
derivada = (f(x) - f(x-h))/h




In [4]:

print('f\'(0.5) =', fx_atras(g,0.5,0.25))




f'(0.5) = -0.7140625000000003



## Primera diferencia centrada

Usando tres términos de la serie de Taylor expandida hacia adelante

$$f(x_{i+1}) \approx f(x_{i}) + f'(x_{i}) h + \frac{1}{2} f''(x_{i}) h^{2} \label{ecuacion6}$$

Usando tres términos de la serie de Taylor expandida hacia atrás

$$f(x_{i-1}) \approx f(x_{i}) - f'(x_{i}) h + \frac{1}{2} f''(x_{i}) h^{2} \label{ecuacion7}$$

Restando \eqref{ecuacion7} de \eqref{ecuacion6}

\begin{equation*} f(x_{i+1}) - f(x_{i-1}) \approx 2 f'(x_{i}) h \end{equation*}

Despejando la primera derivada

$$f'(x_{i}) = \frac{f(x_{i+1}) - f(x_{i-1})}{2 h}$$

También puede escribirse como el promedio de una diferencia hacia adelante y una diferencia hacia atrás

\begin{equation*} f'(x_{i}) = \frac{\frac{f(x_{i+1}) - f(x_{i})}{h} + \frac{f(x_{i}) - f(x_{i-1})}{h}}{2} \end{equation*}


In [5]:




In [6]:




f'(0.5) = -0.9343750000000002



## Segunda diferencia hacia adelante

Usando tres términos de la serie de Taylor expandida hacia adelante una posición

\begin{equation*} f(x_{i+1}) \approx f(x_{i}) + f'(x_{i}) h + \frac{1}{2} f''(x_{i}) h^{2} \end{equation*}

Multiplicando por dos

$$2 f(x_{i+1}) \approx 2 f(x_{i}) + 2 f'(x_{i}) h + f''(x_{i}) h^{2} \label{ecuacion9}$$

Usando tres términos de la serie de Taylor expandida hacia adelante dos posiciones

$$f(x_{i+2}) \approx f(x_{i}) + 2 f'(x_{i}) h + 2 f''(x_{i}) h^{2} \label{ecuacion10}$$

Restando \eqref{ecuacion10} de \eqref{ecuacion9}

\begin{equation*} 2 f(x_{i+1}) - f(x_{i+2}) \approx f(x_{i}) - f''(x_{i}) h^{2} \end{equation*}

Despejando la segunda derivada

$$f''(x_{i}) = \frac{f(x_{i+2}) - 2 f(x_{i+1}) + f(x_{i})}{h^{2}}$$


In [7]:

derivada = (f(x+2*h) - 2*f(x+h) + f(x))/h**2




In [8]:




f''(0.5) = -2.362499999999999



## Segunda diferencia hacia atrás

Usando tres términos de la serie de Taylor expandida hacia atrás una posición

\begin{equation*} f(x_{i-1}) \approx f(x_{i}) - f'(x_{i}) h + \frac{1}{2} f''(x_{i}) h^{2} \end{equation*}

Multiplicando por dos

$$2 f(x_{i-1}) \approx 2 f(x_{i}) - 2 f'(x_{i}) h + f''(x_{i}) h^{2} \label{ecuacion12}$$

Usando tres términos de la serie de Taylor expandida hacia atrás dos posiciones

$$f(x_{i-2}) \approx f(x_{i}) - 2 f'(x_{i}) h + 2 f''(x_{i}) h^{2} \label{ecuacion13}$$

Restando \eqref{ecuacion13} de \eqref{ecuacion12}

\begin{equation*} 2 f(x_{i-1}) - f(x_{i-2}) \approx f(x_{i}) - f''(x_{i}) h^{2} \end{equation*}

Despejando la segunda derivada

$$f''(x_{i}) = \frac{f(x_{i}) - 2 f(x_{i-1}) + f(x_{i-2})}{h^{2}}$$


In [9]:

def fxx_atras(f,x,h):
derivada = (f(x) - 2*f(x-h) + f(x-2*h))/h**2




In [10]:

print('f\'\'(0.5) =', fxx_atras(g,0.5,0.25))




f''(0.5) = -1.3125000000000036



## Segunda diferencia centrada

Usando tres términos de la serie de Taylor expandida hacia adelante

$$f(x_{i+1}) \approx f(x_{i}) + f'(x_{i}) h + \frac{1}{2} f''(x_{i}) h^{2} \label{ecuacion15}$$

Usando tres términos de la serie de Taylor expandida hacia atrás

$$f(x_{i-1}) \approx f(x_{i}) - f'(x_{i}) h + \frac{1}{2} f''(x_{i}) h^{2} \label{ecuacion16}$$

Sumando \eqref{ecuacion16} a \eqref{ecuacion15}

\begin{equation*} f(x_{i+1}) + f(x_{i-1}) \approx 2 f(x_{i}) + f''(x_{i}) h^{2} \end{equation*}

Despejando la segunda derivada

$$f''(x_{i}) = \frac{f(x_{i+1}) - 2 f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{h^{2}}$$

También puede escribirse como la diferencia de una diferencia hacia adelante y una diferencia hacia atrás

\begin{equation*} f''(x_{i}) = \frac{\frac{f(x_{i+1}) - f(x_{i})}{h} - \frac{f(x_{i}) - f(x_{i-1})}{h}}{h} \end{equation*}


In [11]:




In [12]:




f''(0.5) = -4.1999999999999815