El método de la secante es una extensión del método de Newton-Raphson, la derivada de la función se calcula usando una diferencia finita hacia atrás
\begin{equation*} f'(x_{i}) = \frac{f(x_{i-1}) - f(x_{i})}{x_{i-1} - x_{i}} \end{equation*}y se reemplaza en la fórmula del método de Newton-Raphson
\begin{equation} x_{i+1} = x_{i} - \frac{1}{f'(x_{i})} f(x_{i}) = x_{i} - \frac{x_{i-1} - x_{i}}{f(x_{i-1}) - f(x_{i})} f(x_{i}) \end{equation}Algoritmo
x_-1 es la raiz aproximada anterior
x_0 es la raiz aproximada actual
x_1 = x_0 - f(x_0)*(x_-1 - x_0)/f(x_-1) - f(x_0)
x_2 = x_1 - f(x_1)*(x_0 - x_1)/f(x_0) - f(x_1)
x_3 = x_2 - f(x_2)*(x_1 - x_2)/f(x_1) - f(x_2)
...
Encontrar la raiz de
\begin{equation*} y = x^{5} + x^{3} + 3 \end{equation*}usar $x = 0$ y $x = -1$ como valores iniciales
Raíz aproximada anterior
\begin{equation*} x_{-1} = 0 \end{equation*}Raíz aproximada actual
\begin{equation*} x_{0} = -1 \end{equation*}Error relativo
\begin{equation*} e_{r} = ? \end{equation*}Calculando las ordenadas en los puntos anteriores
\begin{align*} f(x_{-1}) &= f(0) = 3 \\ f(x_{0}) &= f(-1) = 1 \end{align*}Raíz aproximada anterior
\begin{equation*} x_{0} = -1 \end{equation*}Raíz aproximada actual
\begin{equation*} x_{1} = x_{0} - \frac{x_{-1} - x_{0}}{f(x_{-1}) - f(x_{0})} f(x_{0}) = -1 - \frac{0 - (-1)}{3 - 1} 1 = -1.5 \end{equation*}Error relativo
\begin{equation*} e_{r} = \bigg|\frac{x_{1} - x_{0}}{x_{1}}\bigg| \times 100\% = \bigg|\frac{-1.5 - (-1)}{-1.5}\bigg| \times 100\% = 33.33\% \end{equation*}Calculando las ordenadas en los puntos anteriores
\begin{align*} f(x_{0}) &= f(-1) = 1 \\ f(x_{1}) &= f(-1.5) = -7.96875 \end{align*}Raíz aproximada anterior
\begin{equation*} x_{1} = -1.5 \end{equation*}Raíz aproximada actual
\begin{equation*} x_{2} = x_{1} - \frac{x_{0} - x_{1}}{f(x_{0}) - f(x_{1})} f(x_{1}) = -1.5 - \frac{-1 - (-1.5)}{1 - (-7.96875)} (-7.96875) = -1.055749 \end{equation*}Error relativo
\begin{equation*} e_{r} = \bigg|\frac{x_{2} - x_{1}}{x_{2}}\bigg| \times 100\% = \bigg|\frac{-1.055749 - (-1.5)}{-1.055749}\bigg| \times 100\% = 42.08\% \end{equation*}Calculando las ordenadas en los puntos anteriores
\begin{align*} f(x_{1}) &= f(-1.5) = -7.96875 \\ f(x_{2}) &= f(-1.055749) = 0.511650 \end{align*}Raíz aproximada anterior
\begin{equation*} x_{2} = -1.055749 \end{equation*}Raíz aproximada actual
\begin{equation*} x_{3} = x_{2} - \frac{x_{1} - x_{2}}{f(x_{1}) - f(x_{2})} f(x_{2}) = -1.055749 - \frac{-1.5 - (-1.055749)}{-7.96875 - 0.511650} 0.511650 = -1.082552 \end{equation*}Error relativo
\begin{equation*} e_{r} = \bigg|\frac{x_{3} - x_{2}}{x_{3}}\bigg| \times 100\% = \bigg|\frac{-1.082552 - (-1.055749)}{-1.082552}\bigg| \times 100\% = 2.48\% \end{equation*}Seudocódigo para la derivada
function diferencia_atras(f(x), x_0, x_1)
f'(x) = f(x_0) - f(x_1)/x_0 - x_1
return f'(x)
end function
Seudocódigo para obtener las últimas dos raices
function raiz(f(x), a, b):
c = b - f(b)/diferencia_atras(f(x), a, b)
return b, c
end function
In [1]:
def diferencia_atras(f, x_0, x_1):
pendiente = (f(x_0) - f(x_1))/(x_0 - x_1)
return pendiente
def raiz(f, a, b):
c = b - f(b)/diferencia_atras(f, a, b)
return b, c
Seudocódigo
function secante(f(x), x_0, x_1)
x_anterior = x_0
x_actual = x_1
error_permitido = 0.000001
while(True)
x_anterior, x_actual = raiz(f(x), x_anterior, x_actual)
if x_raiz_actual != 0
error_relativo = abs((x_raiz_actual - x_raiz_anterior)/x_raiz_actual)*100
end if
if error_relativo < error_permitido
exit
end if
end while
mostrar x_actual
end function
o también
function secante(f(x), x_0, x_1)
x_anterior = x_0
x_actual = x_1
for 1 to maxima_iteracion do
x_anterior, x_actual = raiz(f(x), x_anterior, x_actual)
end for
mostrar x_actual
end function
In [2]:
def secante(f, x_0, x_1):
print("{0:s} \t {1:15s} \t {2:15s} \t {3:15s}".format('i', 'x anterior', 'x actual', 'error relativo %'))
x_anterior = x_0
x_actual = x_1
i = 0
print("{0:d} \t {1:.15f} \t {2:.15f} \t {3:15s}".format(i, x_anterior, x_actual, '???????????????'))
error_permitido = 0.000001
while True:
x_anterior, x_actual = raiz(f, x_anterior, x_actual)
if x_actual != 0:
error_relativo = abs((x_actual - x_anterior)/x_actual)*100
i = i + 1
print("{0:d} \t {1:.15f} \t {2:.15f} \t {3:15.11f}".format(i, x_anterior, x_actual, error_relativo))
if (error_relativo < error_permitido) or (i>=20):
break
print('\nx =', x_actual)
In [3]:
def f(x):
# f(x) = x^5 + x^3 + 3
y = x**5 + x**3 + 3
return y
In [4]:
diferencia_atras(f, 0, -1)
Out[4]:
In [5]:
raiz(f, 0, -1)
Out[5]:
In [6]:
secante(f, 0, -1)
In [7]:
secante(f, 0, -0.5)