Una funzione $f$ continua su un intervalli limitato e chiuso è dotata di massimo e di mimimo.
$$
\text{Ipotesi} \\
E := sup f([a, b]) \\
\forall x, f(x) \le E \\
\text{Tesi} \\
E \in f([a, b]) \\
$$
Dimostro per assurdo ponendo $f(x) \le E$
$$
E - f(x) \ge 0 \\
g(x) = \frac{1}{E - f(x)} \\
E \text{ è il più piccolo dei maggioranti} \Rightarrow \\
\forall \epsilon \gt 0; \exists x_0 \\
E - \epsilon \lt f(x_0) \le E \\
E-f(x_0) \le \epsilon \\
\frac{1}{E - f(x)} = g(x) \gt \frac{1}{\epsilon} = M \\
$$
Ho dimostrato che la funzione g(x) è illimitata superiormente, ma la mia tesi per assurdo era che $f(x) \le E$ quindi ho trovato una contraddizione.
Una funzione continua non può passare da valori negativi a positivi (o viceversa) senza annullarsi almeno in un punto.
Procedo per dimezzamenti.
$$
f(x): A \mapsto [a, b] \subset R \\
a \lt 0, b \gt 0 \\
$$
Creo due successioni $a_n, b_n$ dimezzando ogni volta il mio intervallo $[a, b]$ tramite il punto medio $c$.
Prendendo quindi i miei $a, b$ successivi come gli estremi dell'intervallo che contiene lo 0.
Se durante questi passaggi $f(c) = 0$ allora la tesi è dimostrata.
In caso contrario ottengo le due successioni due successioni che puntano a un medesimo valore f(x_0):
$$
a_n \text{ Monotona crescente tutta negativa } \to f(x_0) \\
b_n \text{ Monotona decrescente tutta positiva } \to f(x_0)
$$
Per come ho definito entrambe le successioni ho che
$$
f(a_n)f(b_n) \le 0 \\
\text {al tendere all'infinito} \\
f(x_0)f(x_0) \le 0 \\
\text {essendo una successione che assume solo valori negativi} \\
0 \le f(x_0)^2 \le 0
$$
Quindi $f(x_0)$ è per forza 0
Posso estendre questa dimostrazione dicendo che ogni funzione continua in un intervallo non può assumere due valori senza assumere tutti i valori intermedi.
$$ \text{Ipotesi} \\ f: I \mapsto R \\ f(x_1) = y_1 \le y_2 = f(x_2) \\ \text{Tesi} \\ \forall y; y_1 \lt y \lt y_2 \\ \exists x \in (x_1, x_2) \Rightarrow f(x) = y \\ \text{Mi riporto al caso precedente} \\ g(x) = f(x) - y \\ g(x_1) \lt 0; g(x_2) \gt 0 \Rightarrow \\ \exists x; g(x) = 0 \Rightarrow f(x) = y \\ $$Posso traslare qualsiasi funzione in modo che il punto intermedio sia 0 e i due estremi siano uno positivo e uno negativo.
Quindi una funzione continua trasforma intervalli in intervalli dello stesso tipo. Se il dominio di una funzione continua è limitato è chiuso quindi anche il codominio sarà limitato è chiuso.
Sia
$$
f : A \mapsto B, f \text{ continua}
$$
viene detta iniettiva se per ogni valori in ingresso corrisponde uno e uno solo valore in uscita e per ogni valore in uscita esiste uno e un solo punto in ingresso.
Se f è iniettiva
$$
\exists f^{-1}: B \mapsto A,\\
f(x) = y; f^{-1}(y) = x; \text{ x unico e y unico} \\
$$
Un caso specifico $$ f: I \mapsto J, \text{ Continua e Strettamente Monotona} \\ \exists f^{-1}: J \mapsto I \text{ Continua e Strettamente Monotona} \\ $$
Per il seno devo restringere il dominio nella zona non periodica in cui la funzione è strettamente crescente $$ f: [-\frac{\varphi}{2}, \frac{\varphi}{2}] \mapsto [-1, 1], f(x) = \sin x \\ f^{-1}: [-1, 1] \mapsto [-\frac{\varphi}{2}, \frac{\varphi}{2}], f(x) = \sin^{-1} x \\ $$