Data la seguente definizione di limte
$$ \forall \epsilon > 0; \exists \delta_{\epsilon} > 0: \\ x \in (A\setminus\{x0\}\cap I(x_{0};\delta_{\epsilon}))\Rightarrow \\ f(x)-L| < \epsilon \\ f(x) \in I(L; \epsilon) $$per comodità diamo una nomeclatura per l'insime a cui appartiene x
\begin{align} A^*(x_0; \delta)& = (A\setminus\{x_0\}) \cap I(x_0;\delta)\\ A^*(x_0; \delta)& = A \cap I(x_0;\delta)\\ \end{align}Di conseguenza semplifico la notazione di convergenza a un limite L
$$ \forall \epsilon > 0; \exists \delta_\epsilon > 0: \\ f(A^*(x_0; \delta_\epsilon)) \subseteq I(L; \epsilon) $$Data questa notazione di convergenza a un limite L possiamo semplificare la definizione di funzione continua
$$ \forall \epsilon \gt 0: \exists \delta_\epsilon \gt 0: \\ f(A(x_0; \delta_\epsilon)) \subseteq I(f(x); \epsilon) $$Prendiamo un esempio di funzione affine continua
$$f(x) = mx+q$$Questa è l'equazione di una retta su un piano avente m come coefficente angolare.
Prendendo $m=0$ questa è ovviamente continua
Andiamo quindi a chiederci se è continua con $m\ne0$ $$ \forall \epsilon \gt 0 \\ |f(x)-f(x_0)| \lt \epsilon \\ |f(x)-f(x_0)| = |m||x-x_0| \lt \epsilon \\ |x-x_0| \lt \epsilon/|m| \\ \delta_\epsilon = \epsilon/|m| $$
Avendo definito che $m\ne0$ ne risulta che $\delta_\epsilon$ è sempre definito e quindi la funzione è continua in tutti i suoi punti
In [1]:
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(0, 1000, 10000)
y = np.sqrt(x)
plt.plot(x, y)
Out[1]:
Anche in questo caso voglio chiedermi se la funzione è continua.
Il dubbio è nell'intorno dell'origine dove intuisco che il coefficente angolare in quel punto sembra tendere all'infinito
Per arrivare a questo risultato affronto prima la dimostrazione di un'altra disequazione che poi mi aiuterà nel compito
\begin{align} 0 \le x_1 \lt x_2 \Rightarrow \\ \sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} & \le \sqrt{x_2 - x_1} \\ x_2 - x_1 - 2\sqrt{x_2x_1} & \le x_2 - x_1 \\ 2x_1 & \le 2\sqrt{x_2x_1} \\ x_1 & \le \sqrt{x_2x_1} \\ x_1^2 & \le x_1x_2 \\ x_1 & \le x_2 \\ CVD \end{align}Ora posso procedere alla dimostrazione di continuità
$$ y = \sqrt{x}, A = [0, +\infty) \\ \forall \epsilon \gt 0; \exists x_0 \lt x \Rightarrow \\ |f(x) - f(x_0)| \lt \epsilon \\ \sqrt{x} - \sqrt{x_0} \lt \epsilon \\ $$Dalla disequazione precedente otteniamo $$ \sqrt{x} - \sqrt{x_0} \le \sqrt{x-x_0} \lt \epsilon \\ x - x_0 \lt \epsilon^2 \\ \delta_\epsilon = \epsilon^2 $$
Come per le funzioni convergenti che tendono a un valore $L$ andiamo a definire le funzioni divergenti.
Queste possono divergere sia positivamente che negativamente.
Qui riporto la definizione di funzione che diverge positivamente:
Anche per questa definizione vale sia il tendere a $+\infty$ che $+\infty$
Inizio col caso di $+\infty$, quindi analizzo una funzione definita su un dominio $A$ illimitato superiormente, condizione che possiamo indicare come $$ supA = +\infty $$
Posso quindi definire il limite che tende a infinito come segue
$$
\lim_{x\to +\infty}f(x) = L;\\
\forall \epsilon \gt 0: \exists \delta_\epsilon \gt 0 \Rightarrow \\
\forall x \in A \cap (\delta_\epsilon, +\infty) \Rightarrow \\
f(x) \in I(L,\epsilon); |f(x)-L| \lt \epsilon
$$
Il limite $x\to -\infty$ è definito in maniera equivalente
Vado quindi ad analizzare il limite di $y = 1/x$
$$
1/x - 1/x0 \lt \epsilon \\
x - x0 \lt 1/\epsilon \\
\lim_{x\to +\infty} = 1/\epsilon = 0 \\
$$
Posso visualizzare questa relazione in questo modo.
Quando $x \gt 1/\epsilon$ allora $f(x) \in (-L/\epsilon, L/\epsilon)$ con $L = 0$.
Vado quindi a rappresentare su un grafico la mia funzione e 2 rette
$$
r_1 = -\epsilon \\
r_2 = \epsilon \\
$$
E potrò vedere come qualunque $\epsilon$ scelgo, se visualizzo almeno l'intorno $(-1/\epsilon, 1/\epsilon)$ la mia funzione entrerà tra le due rette di riferimento.
In [2]:
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.widgets import Slider
import numpy as np
from IPython.display import Math
e = 0.0001
x = np.linspace(-2/e, 2/e, 1000)
y = 1/x
f = plt.plot(x, y)
s1 = plt.plot(x, (x/x)+(e-1))
s2 = plt.plot(x, (x/x)-(e+1))
axis = plt.axis((-2/e, 2/e, -e*10, e*10))
Dato l'esempio precedente ora posso chiedermi qual'è $\lim_{x\to 0}f(x)$?
Se analizzo solo i valori $x > 0$ allora è facile vedere che il limite è $+\infty$.
Per i valori $x < 0$ noto però che il limite è $-\infty$
Non posso quindi definire un unico limite per $x\to 0$
Sfruttando il fatto che l'insieme $R$ è ordinato vado come prima cosa ad aggiungere una nuova notazione.
$$
A^+(x_0) := \{x \in A; x \gt x_0\} \\
A^-{x_0} := \{x \in A; x \lt x_0\}
$$
Quindi posso definire il limite "destro" come il limite della funzione ristretta all'insieme $A^+{x_0}$
$$
g(x) = f(x); x \in A^+{x_0} \\
\lim_{x\to x^+_0}f(x) =
\lim_{x\downarrow 0}f(x) =
\lim_{x\to0}g(x)
$$
Allo stesso modo posso definire il limite "sinistro" restrigento il dominio della funzione solo all'insieme $A^-{x_0}$
Posso quindi notare che il limite in un punto esiste se e solo se in quel punto esistono e sono coincidenti sia i limiti destro e sinistro. E in questo caso il limite sarà uguale al limite destro e sinistro.
Di conseguenza se un limite esiste è unico.