In [67]:

    

source("../R/functions.R");


    

In [68]:

    

data = list(
    list(n = 9, S = 6.720, USS = 6.11),
    list(n = 8, S = 3.5, USS = 2.1226),
    list(n = 9, S = 9.8, USS = 12.0994)
)


    

In [69]:

    

printkObservations(data = data)


    

    





Antal observationer: $ k = 3 $






    





Estimeret varians






    






$ s_1^2 = \frac{SSD_1}{f_1} = \frac{SSD_{(1)}+...+SSD_{(k)}}{f_{(1)} + ... + f_{(k)}}  = 0.135306038647343 \sim\sim \frac{\sigma^2\chi^2(23)}{23} $






    






$ n_1 = \sum_{i=1}^{k} n_{(i)} = 26 $






    






$ f_1 = \sum_{i=1}^{k} f_{(i)} = 23 $






    






$ SSD_1 = 3.11203888888889 $






    





Test af hypotese om varianshomogenitet






    






$ H_{0\sigma^2}: \sigma_1^2 = \dots = \sigma_k^2 = \sigma^2 $






    






$ C = 1 + \frac{1}{3(k-1)} \left(\left(\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{1}{f_{(i)}}\right) - \frac{1}{f_1}\right) = 1.0582298136646 $






    





Teststørrelsen bliver






    






$ -2 \ln(Q(x)) = f_1 \ln s_1^2 - \sum\limits_{i=1}^{k}f_{(i)} \ln s^2_{(i)} = 1.0060615895032 \sim\sim \chi^2(2) $






    






$ Ba = \frac{-2 \ln(Q(x))}{C} = 0.950702367777049 $






    





Testsandsynligheden er






    






$ p_{obs}(x) = 1 - F_{\chi^2(k-1)}(Ba) = 1 - F_{\chi^2(2)}(0.950702367777049) = 0.621666698796767 $






    





Da $p_{obs}(x)$ er større end $0.05$ kan hypotesen om fælles varians ikke forkastes.






    





Konfidensinterval for variansen $\sigma^2$






    






$ \chi^2_{0.975}(23) = 38.0756272503558 $






    






$ \chi^2_{0.025}(23) = 11.6885519224524 $






    






\begin{align*} 
\frac{f_1 s_1^2}{ \chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(f_1) }
\leq & \sigma^2 \leq
\frac{f_1 s_1^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(f_1)}
\Rightarrow \\
 \frac{23\cdot 0.135306038647343}{\chi^2_{1-\frac{0.05}{2}}(23)}
\leq & \sigma^2 \leq
\frac{23 \cdot 0.135306038647343}{\chi^2_{\frac{0.05}{2}}(23)}
\Rightarrow \\
 0.0817330957787388 \leq & \sigma^2 \leq 0.266246743782778
 \end{align*}






    





Test af hypotese om ens middelværdi






    






$ H_{0\mu}: \mu_1 = \dots = \mu_k = \mu $






    






$ S. = 3.11203888888889 $






    






$ s_2^2 = \frac{SSD_2}{k-1} = 0.902280555555556 $






    






$ F = \frac{s_2^2}{s_1^2} = \frac{0.902280555555556}{0.135306038647343} = 6.66844262514572 $






    






$ SSD_2 = \left(\sum_{i=1}^{k} \frac{S_i^2}{n_i} \right) - \frac{S.^2}{n.} = 1.80456111111111 $






    






$ p_{obs}(x) = 1 - F_{F(k - 1, n. - k)} = 0.00519842274114857 $






    





Da $p_{obs}(x)$ er mindre end $0.05$ forkastes hypotesen om fælles middelværdi.

In [74]:

    

printTwoObservations(9, 6.720, 6.11, 9, 9.8, 12.0994)


    

    






$ f_{(1)} = n_1 - 1 = 8 $






    






$ f_{(2)} = n_2 - 1 = 8 $






    






$ SSD_{(1)} = USS_1 - \frac{S_1^2}{n_1} = 1.0924 $






    






$ SSD_{(2)} = USS_2 - \frac{S_2^2}{n_2} = 1.42828888888889 $






    






$ s_{(1)}^2 = \frac{SSD_{(1)}}{f_{(1)}} = \frac{1.0924}{8} = 0.13655 $






    






$ s_{(2)}^2 = \frac{SSD_{(2)}}{f_{(2)}} = \frac{1.42828888888889}{8} = 0.178536111111111 $






    






$ \bar{x_1}. = \frac{S_1}{n_1} = 0.746666666666667 $






    






$ \bar{x_2}. = \frac{S_2}{n_2} = 1.08888888888889 $






    






$ \bar{x_1}. - \bar{x_2}. = 0.746666666666667 - 1.08888888888889 = -0.342222222222222 $






    





Tester hypotese om ens varians






    





F-teststørrelsen er






    






$ F = \frac{\max(s_{(1)}^2, s_{(2)}^2)}{\min(s_{(1)}^2, s_{(2)}^2)} = \frac{0.178536111111111}{0.13655} = 1.30747792831278 \sim\sim F(8, 8) $






    





Testsandsynligheden beregnes som






    






$ p_{obs}(x) = 2 (1 - F_{F(8, 8)}(1.30747792831278)) = 0.71363035658387 $






    





Da $p_{obs}(x)$ er større end $0.05$ kan hypotesen om fælles varians ikke forkastes.






    





Den fælles varians er da:






    






$ s_1^2=\frac{\sum_{i=1}^kSSD_{(i)}}{\sum_{i=1}^kf_{(i)}}=0.157543055555555 $






    





Og har 95%-konfidensintervallet:






    






$ C_{0.95}(\sigma^2)=\bigg[\frac{f_1s_1^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(f_1)} \ , \ \frac{f_1s_1^2}{\chi_{\alpha/2}^2(f_1)}\bigg]
            = [0.0873863144553009, 0.364911894946487] $






    





Tester hypotese om ens middelværdi






    






$ f_1 = f_{(1)} + f_{(2)} = 16 $






    





t-teststørrelsen er






    






$ t(x) = \frac{ \bar{x}_1. - \bar{x}_2.}{\sqrt{ s_1^2 \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} = -0.954247179259131 \sim \sim t(15.7208555745732) $






    





Testsandsynligheden beregnes som






    






$ p_{obs}(x) = 2 \left(1 - F_{t(\bar{f})}\left(\lvert t(x)\rvert\right) \right) = 0.354154244810011 $






    





Da $p_{obs}(x)$ er større end $0.05$ kan hypotesen om fælles middelværdi ikke forkastes.






    





Den estimerede spredning på $ \bar{x_1}. - \bar{x_2}. $ er






    






$ StdError(\bar{x_1}. - \bar{x_2}.) = \sqrt{s_{(1)}^2 / n_1 + s_{(2)}^2 / n_2} = 0.187108438883003 $






    






\begin{align*} c_{95}(\mu_1 - \mu_2)
&= \bar{x_1}. - \bar{x_2}. \pm t_{0.975}(\bar{f}) StdError(\bar{x_1}. - \bar{x_2}.) \\
&= 0.746666666666667 - 1.08888888888889 \pm 2.11990529922125 \cdot 0.187108438883003 \\
&= -0.342222222222222 \pm 0.396652171117095 \\
&= [-0.738874393339317, 0.0544299488948722]
 \end{align*}

In [71]:

    

printTwoObservations(8, 3.5, 2.1226, 9, 9.8, 12.0994)


    

    






$ f_{(1)} = n_1 - 1 = 7 $






    






$ f_{(2)} = n_2 - 1 = 8 $






    






$ SSD_{(1)} = USS_1 - \frac{S_1^2}{n_1} = 0.59135 $






    






$ SSD_{(2)} = USS_2 - \frac{S_2^2}{n_2} = 1.42828888888889 $






    






$ s_{(1)}^2 = \frac{SSD_{(1)}}{f_{(1)}} = \frac{0.59135}{7} = 0.0844785714285714 $






    






$ s_{(2)}^2 = \frac{SSD_{(2)}}{f_{(2)}} = \frac{1.42828888888889}{8} = 0.178536111111111 $






    






$ \bar{x_1}. = \frac{S_1}{n_1} = 0.4375 $






    






$ \bar{x_2}. = \frac{S_2}{n_2} = 1.08888888888889 $






    






$ \bar{x_1}. - \bar{x_2}. = 0.4375 - 1.08888888888889 = -0.651388888888889 $






    





Tester hypotese om ens varians






    





F-teststørrelsen er






    






$ F = \frac{\max(s_{(1)}^2, s_{(2)}^2)}{\min(s_{(1)}^2, s_{(2)}^2)} = \frac{0.178536111111111}{0.0844785714285714} = 2.11338932574241 \sim\sim F(8, 7) $






    





Testsandsynligheden beregnes som






    






$ p_{obs}(x) = 2 (1 - F_{F(8, 7)}(2.11338932574241)) = 0.340125312249558 $






    





Da $p_{obs}(x)$ er større end $0.05$ kan hypotesen om fælles varians ikke forkastes.






    





Den fælles varians er da:






    






$ s_1^2=\frac{\sum_{i=1}^kSSD_{(i)}}{\sum_{i=1}^kf_{(i)}}=0.134642592592592 $






    





Og har 95%-konfidensintervallet:






    






$ C_{0.95}(\sigma^2)=\bigg[\frac{f_1s_1^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(f_1)} \ , \ \frac{f_1s_1^2}{\chi_{\alpha/2}^2(f_1)}\bigg]
            = [0.0734724252131458, 0.322515881156035] $






    





Tester hypotese om ens middelværdi






    






$ f_1 = f_{(1)} + f_{(2)} = 15 $






    





t-teststørrelsen er






    






$ t(x) = \frac{ \bar{x}_1. - \bar{x}_2.}{\sqrt{ s_1^2 \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} = -1.82110395362479 \sim \sim t(14.1889989651041) $






    





Testsandsynligheden beregnes som






    






$ p_{obs}(x) = 2 \left(1 - F_{t(\bar{f})}\left(\lvert t(x)\rvert\right) \right) = 0.0885951453799438 $






    





Da $p_{obs}(x)$ er større end $0.05$ kan hypotesen om fælles middelværdi ikke forkastes.






    





Den estimerede spredning på $ \bar{x_1}. - \bar{x_2}. $ er






    






$ StdError(\bar{x_1}. - \bar{x_2}.) = \sqrt{s_{(1)}^2 / n_1 + s_{(2)}^2 / n_2} = 0.178299220805694 $






    






\begin{align*} c_{95}(\mu_1 - \mu_2)
&= \bar{x_1}. - \bar{x_2}. \pm t_{0.975}(\bar{f}) StdError(\bar{x_1}. - \bar{x_2}.) \\
&= 0.4375 - 1.08888888888889 \pm 2.13144954555978 \cdot 0.178299220805694 \\
&= -0.651388888888889 \pm 0.380035793159959 \\
&= [-1.03142468204885, -0.27135309572893]
 \end{align*}

In [ ]: