In [15]:

    

source("../R/functions.R");


    

In [2]:

    

data = matrix(
    c(23, 26, 235, 269), nrow = 2, ncol = 2
)


    

In [3]:

    

printTestHomogeneity(data)


    

    





Tester hypotese om homogenitet






    






$ M_0: \pmb{X}_i = (X_{i1}, \dots, X_{i 2}) \sim m(n_i, \pi_i) $






    






$ H_{01}: \pmb{\pi}_1 = \dots = \pmb{\pi}_2 = \pmb{\pi} $






    





Vi ønsker at gå til modellen






    






$ M_1: \pmb{X}_i = (X_{i1}, \dots, X_{i 2}) \sim m(n_i, \pi) $






    






$ s = 2 \quad \text{(antal søjler)} $






    






$ r = 2 \quad \text{(antal rækker)} $






    





data






    







	
23 
235
	
26 
269









    





e   (forventede værdier under hypotese)






    







	
22.86076
235.1392
	
26.13924
268.8608









    





Den mindste forventede værdi er 22.8607594936709, denne skal helst være større end 5






    






$ -2ln(Q(x)) = 2 \sum\limits_{i=1}^{r} \sum\limits_{j=1}^{s} x_{ij} ln (\frac{x_{ij}}{e_{ij}}) = 0.00174397627503803 $






    






$ p_{obs}(x) = 1 - F_{\chi^2(r - 1)(s - 1)}(- 2 ln (Q(x))) = 0.966689271617718 $






    





Da $p_{obs}(x)$ er større end $0.05$ kan hypotesen ikke forkastes.






    





Vi har defor nu kun én $ \pmb{\pi} $.






    






$ \pmb{\pi} \leftarrow \pmb{\hat{\pi}}(\pmb{x}) = (\frac{x_1}{n}, \dots, \frac{x_j}{n}, \dots, \frac{x_k}{n})^* = ( 0.0886075949367089, 0.911392405063291 ) $






    





Konfidens intervallerne for de 2 komponenter i $ \pmb{\pi} $






    






$ c_{0.95}(\pi_1) = [0.0676721235914764, 0.11521938451424] $






    






$ c_{0.95}(\pi_2) = [0.88478061548576, 0.932327876408524] $

In [4]:

    

data2 = matrix(
    c(9, 11, 8, 5, 6, 10), nrow = 2, ncol = 3
)


    

In [42]:

    

printTestHomogeneity(data2)


    

    





Tester hypotese om homogenitet






    






$ M_0: \pmb{X}_i = (X_{i1}, \dots, X_{i 3}) \sim m(n_i, \pi_i) $






    






$ H_{01}: \pmb{\pi}_1 = \dots = \pmb{\pi}_2 = \pmb{\pi} $






    





Vi ønsker at gå til modellen






    






$ M_1: \pmb{X}_i = (X_{i1}, \dots, X_{i 3}) \sim m(n_i, \pi) $






    






$ s = 3 \quad \text{(antal søjler)} $






    






$ r = 2 \quad \text{(antal rækker)} $






    





data






    







	
 9
8 
 6
	
11
5 
10









    





e   (forventede værdier under hypotese)






    







	
 9.387755
6.102041 
7.510204 
	
10.612245
6.897959 
8.489796 









    





Den mindste forventede værdi er 6.10204081632653, denne skal helst være større end 5






    






$ -2ln(Q(x)) = 2 \sum\limits_{i=1}^{r} \sum\limits_{j=1}^{s} x_{ij} ln (\frac{x_{ij}}{e_{ij}}) = 1.72581963260292 $






    






$ p_{obs}(x) = 1 - F_{\chi^2(r - 1)(s - 1)}(- 2 ln (Q(x))) = 0.421932548119331 $






    





Da $p_{obs}(x)$ er større end $0.05$ kan hypotesen ikke forkastes.






    





Vi har defor nu kun én $ \pmb{\pi} $.






    






$ \pmb{\pi} \leftarrow \pmb{\hat{\pi}}(\pmb{x}) = (\frac{x_1}{n}, \dots, \frac{x_j}{n}, \dots, \frac{x_k}{n})^* = ( 0.408163265306122, 0.26530612244898, 0.326530612244898 ) $






    





Konfidens intervallerne for de 3 komponenter i $ \pmb{\pi} $






    






$ c_{0.95}(\pi_1) = [0.282150346059711, 0.547529300279537] $






    






$ c_{0.95}(\pi_2) = [0.162111312451494, 0.402625561526583] $






    






$ c_{0.95}(\pi_3) = [0.212073213292642, 0.466210563125937] $

In [46]:

    

source("../R/functions.R"); printTestProbabilityVector(c(20, 13, 16), c(1/3, 1/3, 1/3))


    

    






$ H_0: \pmb{\pi} = \pmb{\pi}_0 = ( 0.333333333333333, 0.333333333333333, 0.333333333333333 ) $






    







	
observeret
20.00000
13.00000
16.00000
	
forventede
16.33333
16.33333
16.33333









    






$ -2lnQ(\pmb{x}) = \sum\limits_{j=1}^{k} x_j ln(\frac{x_j}{e_j}) = 1.50642842246594 $






    






$ p_{obs}(\pmb{x}) = 1 - F_{\chi^2(k - 1 - d)}(-2 ln(Q(\pmb{x}))) = 0.470850704294705 $

In [ ]: