Тест. Доверительные интервалы для долей



In [1]:

    
import numpy as np

from IPython.core.interactiveshell import InteractiveShell
InteractiveShell.ast_node_interactivity = "all"

Большая часть млекопитающих неспособны во взрослом возрасте переваривать лактозу, содержащуюся в молоке. У людей за расщепление лактозы отвечает фермент лактаза, кодируемый геном LCT. У людей с вариантом 13910T этого гена лактаза продолжает функционировать на протяжении всей жизни. Распределение этого варианта гена сильно варьируется в различных генетических популяциях.

Из 50 исследованных представителей народа майя вариант 13910T был обнаружен у одного. Постройте нормальный 95% доверительный интервал для доли носителей варианта 13910T в популяции майя. Чему равна его нижняя граница? Округлите ответ до 4 знаков после десятичной точки.



In [4]:

    
size = 50
data_gen = np.zeros(size)
data_gen[0] = 1
data_gen









    Out[4]:





array([ 1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,
        0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,
        0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,
        0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.])



In [5]:

    
from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint



In [16]:

    
normal_interval = proportion_confint(sum(data_gen), len(data_gen), method = 'normal')
print('Normal interval [%.4f, %.4f] with width %f' % (normal_interval[0],
                                                  normal_interval[1], 
                                                  normal_interval[1] - normal_interval[0]))









    



Normal interval [-0.0188, 0.0588] with width 0.077611

В условиях предыдущей задачи постройте 95% доверительный интервал Уилсона для доли носителей варианта 13910T в популяции майя. Чему равна его нижняя граница? Округлите ответ до 4 знаков после десятичной точки.



In [17]:

    
wilson_interval = proportion_confint(sum(data_gen), len(data_gen), method = 'wilson')
print('Wilson interval [%.4f, %.4f] with width %f' % (wilson_interval[0],
                                                  wilson_interval[1], 
                                                  wilson_interval[1] - wilson_interval[0]))









    



Wilson interval [0.0035, 0.1050] with width 0.101415

Пусть в популяции майя действительно 2% носителей варианта 13910T, как в выборке, которую мы исследовали. Какой объём выборки нужен, чтобы с помощью нормального интервала оценить долю носителей гена 13910T с точностью ±0.01 на уровне доверия 95%?



In [18]:

    
from statsmodels.stats.proportion import samplesize_confint_proportion



In [22]:

    
n_samples = int(np.ceil(samplesize_confint_proportion(data_gen.mean(), 0.01)))
n_samples









    Out[22]:





753

Постройте график зависимости объёма выборки, необходимой для оценки для доли носителей гена 13910T с точностью ±0.01 на уровне доверия 95%, от неизвестного параметра p. Посмотрите, при каком значении p нужно больше всего испытуемых. Как вы думаете, насколько вероятно, что выборка, которую мы анализируем, взята из случайной величины с этим значением параметра?

Как бы вы не ответили на последний вопрос, рассмотреть объём выборки, необходимый при таком p, всё равно полезно — это даёт максимально пессимистичную оценку необходимого объёма выборки.

Какой объём выборки нужен в худшем случае, чтобы с помощью нормального интервала оценить долю носителей гена 13910T с точностью ±0.01 на уровне доверия 95%?



In [20]:

    
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
import seaborn as sns



In [25]:

    
proportion = np.linspace(0, 1, 101)
proportion









    Out[25]:





array([ 0.  ,  0.01,  0.02,  0.03,  0.04,  0.05,  0.06,  0.07,  0.08,
        0.09,  0.1 ,  0.11,  0.12,  0.13,  0.14,  0.15,  0.16,  0.17,
        0.18,  0.19,  0.2 ,  0.21,  0.22,  0.23,  0.24,  0.25,  0.26,
        0.27,  0.28,  0.29,  0.3 ,  0.31,  0.32,  0.33,  0.34,  0.35,
        0.36,  0.37,  0.38,  0.39,  0.4 ,  0.41,  0.42,  0.43,  0.44,
        0.45,  0.46,  0.47,  0.48,  0.49,  0.5 ,  0.51,  0.52,  0.53,
        0.54,  0.55,  0.56,  0.57,  0.58,  0.59,  0.6 ,  0.61,  0.62,
        0.63,  0.64,  0.65,  0.66,  0.67,  0.68,  0.69,  0.7 ,  0.71,
        0.72,  0.73,  0.74,  0.75,  0.76,  0.77,  0.78,  0.79,  0.8 ,
        0.81,  0.82,  0.83,  0.84,  0.85,  0.86,  0.87,  0.88,  0.89,
        0.9 ,  0.91,  0.92,  0.93,  0.94,  0.95,  0.96,  0.97,  0.98,
        0.99,  1.  ])



In [27]:

    
n_samples = np.empty(proportion.shape)
for i, p in enumerate(proportion):
    n_samples[i] = int(np.ceil(samplesize_confint_proportion(p, 0.01)))
n_samples









    Out[27]:





array([    0.,   381.,   753.,  1118.,  1476.,  1825.,  2167.,  2501.,
        2828.,  3147.,  3458.,  3761.,  4057.,  4345.,  4626.,  4898.,
        5163.,  5421.,  5670.,  5913.,  6147.,  6373.,  6592.,  6804.,
        7007.,  7203.,  7391.,  7572.,  7745.,  7910.,  8068.,  8217.,
        8360.,  8494.,  8621.,  8740.,  8851.,  8955.,  9051.,  9139.,
        9220.,  9293.,  9358.,  9416.,  9466.,  9508.,  9543.,  9570.,
        9589.,  9600.,  9604.,  9600.,  9589.,  9570.,  9543.,  9508.,
        9466.,  9416.,  9358.,  9293.,  9220.,  9139.,  9051.,  8955.,
        8851.,  8740.,  8621.,  8494.,  8360.,  8217.,  8068.,  7910.,
        7745.,  7572.,  7391.,  7203.,  7007.,  6804.,  6592.,  6373.,
        6147.,  5913.,  5670.,  5421.,  5163.,  4898.,  4626.,  4345.,
        4057.,  3761.,  3458.,  3147.,  2828.,  2501.,  2167.,  1825.,
        1476.,  1118.,   753.,   381.,     0.])



In [29]:

    
plt.plot(proportion, n_samples);



In [33]:

    
n_samples[np.where(proportion == 0.5)]









    Out[33]:





array([ 9604.])