In [1]:

    

from itertools import repeat
from sympy import *


    

In [2]:

    

init_printing()


    

In [24]:

    

z, x, t, n = symbols('z x t n', positive=True)
o = symbols('o0:50', commutative=False)
u = symbols('u0:50', commutative=True)


    

In [80]:

    

lst = 1/(1-z)


    

In [81]:

    

catalan = (1-sqrt(1-4*z))/(2*z)
catalan


    

    
Out[81]:





$$\frac{- \sqrt{- 4 z + 1} + 1}{2 z}$$

In [5]:

    

catalan.series(z, n=10)


    

    
Out[5]:





$$1 + z + 2 z^{2} + 5 z^{3} + 14 z^{4} + 42 z^{5} + 132 z^{6} + 429 z^{7} + 1430 z^{8} + 4862 z^{9} + O\left(z^{10}\right)$$

In [6]:

    

catalan.diff(z,3).ratsimp().series(z, n=10)


    

    
Out[6]:





$$30 + 336 z + 2520 z^{2} + 15840 z^{3} + 90090 z^{4} + 480480 z^{5} + 2450448 z^{6} + 12093120 z^{7} + 58198140 z^{8} + 274575840 z^{9} + O\left(z^{10}\right)$$

In [29]:

    

integrate(lst, (z,0,z))


    

    
Out[29]:





$$- \log{\left (z - 1 \right )} + i \pi$$

In [28]:

    

integrate(catalan, (z,0,z)).series(z,n=10)


    

    
Out[28]:





$$z + \frac{z^{2}}{2} + \frac{2 z^{3}}{3} + \frac{5 z^{4}}{4} + \frac{14 z^{5}}{5} + 7 z^{6} + \frac{132 z^{7}}{7} + \frac{429 z^{8}}{8} + \frac{1430 z^{9}}{9} + O\left(z^{10}\right)$$

In [21]:

    

lst = (1/(1-z))
lst


    

    
Out[21]:





$$\frac{1}{- z + 1}$$

In [28]:

    

lst.diff(z,4).series(z,n=10)


    

    
Out[28]:





$$24 + 120 z + 360 z^{2} + 840 z^{3} + 1680 z^{4} + 3024 z^{5} + 5040 z^{6} + 7920 z^{7} + 11880 z^{8} + 17160 z^{9} + O\left(z^{10}\right)$$

In [32]:

    

5040/24


    

    
Out[32]:





$$210.0$$

In [34]:

    

((1/(1-t))*(1/(1-t**5))*(1/(1-t**10))).apart()


    

    
Out[34]:





$$\frac{t \left(2 t^{2} + 2 t + 1\right)}{10 \left(t^{4} + t^{3} + t^{2} + t + 1\right)^{2}} + \frac{\left(t + 1\right) \left(2 t^{2} - t + 2\right)}{20 \left(t^{4} - t^{3} + t^{2} - t + 1\right)} + \frac{26 t^{3} + 39 t^{2} + 41 t + 34}{100 \left(t^{4} + t^{3} + t^{2} + t + 1\right)} + \frac{1}{40 \left(t + 1\right)} - \frac{77}{200 \left(t - 1\right)} + \frac{13}{100 \left(t - 1\right)^{2}} - \frac{1}{50 \left(t - 1\right)^{3}}$$

In [11]:

    

def multiples(z, digits=set(range(10)),degree=3):
    return sum(o[i]*z**i for i in digits)**degree


    

In [12]:

    

multiples(z)


    

    
Out[12]:





$$\left(z^{9} o_{9} + z^{8} o_{8} + z^{7} o_{7} + z^{6} o_{6} + z^{5} o_{5} + z^{4} o_{4} + z^{3} o_{3} + z^{2} o_{2} + z o_{1} + o_{0}\right)^{3}$$

In [14]:

    

multiples(z).series(z,n=10)


    

    
Out[14]:





$$o_{0}^{3} + z \left(o_{0} o_{1} o_{0} + o_{0}^{2} o_{1} + o_{1} o_{0}^{2}\right) + z^{2} \left(o_{0} o_{1}^{2} + o_{0} o_{2} o_{0} + o_{0}^{2} o_{2} + o_{1} o_{0} o_{1} + o_{1}^{2} o_{0} + o_{2} o_{0}^{2}\right) + z^{3} \left(o_{0} o_{1} o_{2} + o_{0} o_{2} o_{1} + o_{0} o_{3} o_{0} + o_{0}^{2} o_{3} + o_{1} o_{0} o_{2} + o_{1} o_{2} o_{0} + o_{1}^{3} + o_{2} o_{0} o_{1} + o_{2} o_{1} o_{0} + o_{3} o_{0}^{2}\right) + z^{4} \left(o_{0} o_{1} o_{3} + o_{0} o_{2}^{2} + o_{0} o_{3} o_{1} + o_{0} o_{4} o_{0} + o_{0}^{2} o_{4} + o_{1} o_{0} o_{3} + o_{1} o_{2} o_{1} + o_{1} o_{3} o_{0} + o_{1}^{2} o_{2} + o_{2} o_{0} o_{2} + o_{2} o_{1}^{2} + o_{2}^{2} o_{0} + o_{3} o_{0} o_{1} + o_{3} o_{1} o_{0} + o_{4} o_{0}^{2}\right) + z^{5} \left(o_{0} o_{1} o_{4} + o_{0} o_{2} o_{3} + o_{0} o_{3} o_{2} + o_{0} o_{4} o_{1} + o_{0} o_{5} o_{0} + o_{0}^{2} o_{5} + o_{1} o_{0} o_{4} + o_{1} o_{2}^{2} + o_{1} o_{3} o_{1} + o_{1} o_{4} o_{0} + o_{1}^{2} o_{3} + o_{2} o_{0} o_{3} + o_{2} o_{1} o_{2} + o_{2} o_{3} o_{0} + o_{2}^{2} o_{1} + o_{3} o_{0} o_{2} + o_{3} o_{1}^{2} + o_{3} o_{2} o_{0} + o_{4} o_{0} o_{1} + o_{4} o_{1} o_{0} + o_{5} o_{0}^{2}\right) + z^{6} \left(o_{0} o_{1} o_{5} + o_{0} o_{2} o_{4} + o_{0} o_{3}^{2} + o_{0} o_{4} o_{2} + o_{0} o_{5} o_{1} + o_{0} o_{6} o_{0} + o_{0}^{2} o_{6} + o_{1} o_{0} o_{5} + o_{1} o_{2} o_{3} + o_{1} o_{3} o_{2} + o_{1} o_{4} o_{1} + o_{1} o_{5} o_{0} + o_{1}^{2} o_{4} + o_{2} o_{0} o_{4} + o_{2} o_{1} o_{3} + o_{2} o_{3} o_{1} + o_{2} o_{4} o_{0} + o_{2}^{3} + o_{3} o_{0} o_{3} + o_{3} o_{1} o_{2} + o_{3} o_{2} o_{1} + o_{3}^{2} o_{0} + o_{4} o_{0} o_{2} + o_{4} o_{1}^{2} + o_{4} o_{2} o_{0} + o_{5} o_{0} o_{1} + o_{5} o_{1} o_{0} + o_{6} o_{0}^{2}\right) + z^{7} \left(o_{0} o_{1} o_{6} + o_{0} o_{2} o_{5} + o_{0} o_{3} o_{4} + o_{0} o_{4} o_{3} + o_{0} o_{5} o_{2} + o_{0} o_{6} o_{1} + o_{0} o_{7} o_{0} + o_{0}^{2} o_{7} + o_{1} o_{0} o_{6} + o_{1} o_{2} o_{4} + o_{1} o_{3}^{2} + o_{1} o_{4} o_{2} + o_{1} o_{5} o_{1} + o_{1} o_{6} o_{0} + o_{1}^{2} o_{5} + o_{2} o_{0} o_{5} + o_{2} o_{1} o_{4} + o_{2} o_{3} o_{2} + o_{2} o_{4} o_{1} + o_{2} o_{5} o_{0} + o_{2}^{2} o_{3} + o_{3} o_{0} o_{4} + o_{3} o_{1} o_{3} + o_{3} o_{2}^{2} + o_{3} o_{4} o_{0} + o_{3}^{2} o_{1} + o_{4} o_{0} o_{3} + o_{4} o_{1} o_{2} + o_{4} o_{2} o_{1} + o_{4} o_{3} o_{0} + o_{5} o_{0} o_{2} + o_{5} o_{1}^{2} + o_{5} o_{2} o_{0} + o_{6} o_{0} o_{1} + o_{6} o_{1} o_{0} + o_{7} o_{0}^{2}\right) + z^{8} \left(o_{0} o_{1} o_{7} + o_{0} o_{2} o_{6} + o_{0} o_{3} o_{5} + o_{0} o_{4}^{2} + o_{0} o_{5} o_{3} + o_{0} o_{6} o_{2} + o_{0} o_{7} o_{1} + o_{0} o_{8} o_{0} + o_{0}^{2} o_{8} + o_{1} o_{0} o_{7} + o_{1} o_{2} o_{5} + o_{1} o_{3} o_{4} + o_{1} o_{4} o_{3} + o_{1} o_{5} o_{2} + o_{1} o_{6} o_{1} + o_{1} o_{7} o_{0} + o_{1}^{2} o_{6} + o_{2} o_{0} o_{6} + o_{2} o_{1} o_{5} + o_{2} o_{3}^{2} + o_{2} o_{4} o_{2} + o_{2} o_{5} o_{1} + o_{2} o_{6} o_{0} + o_{2}^{2} o_{4} + o_{3} o_{0} o_{5} + o_{3} o_{1} o_{4} + o_{3} o_{2} o_{3} + o_{3} o_{4} o_{1} + o_{3} o_{5} o_{0} + o_{3}^{2} o_{2} + o_{4} o_{0} o_{4} + o_{4} o_{1} o_{3} + o_{4} o_{2}^{2} + o_{4} o_{3} o_{1} + o_{4}^{2} o_{0} + o_{5} o_{0} o_{3} + o_{5} o_{1} o_{2} + o_{5} o_{2} o_{1} + o_{5} o_{3} o_{0} + o_{6} o_{0} o_{2} + o_{6} o_{1}^{2} + o_{6} o_{2} o_{0} + o_{7} o_{0} o_{1} + o_{7} o_{1} o_{0} + o_{8} o_{0}^{2}\right) + z^{9} \left(o_{0} o_{1} o_{8} + o_{0} o_{2} o_{7} + o_{0} o_{3} o_{6} + o_{0} o_{4} o_{5} + o_{0} o_{5} o_{4} + o_{0} o_{6} o_{3} + o_{0} o_{7} o_{2} + o_{0} o_{8} o_{1} + o_{0} o_{9} o_{0} + o_{0}^{2} o_{9} + o_{1} o_{0} o_{8} + o_{1} o_{2} o_{6} + o_{1} o_{3} o_{5} + o_{1} o_{4}^{2} + o_{1} o_{5} o_{3} + o_{1} o_{6} o_{2} + o_{1} o_{7} o_{1} + o_{1} o_{8} o_{0} + o_{1}^{2} o_{7} + o_{2} o_{0} o_{7} + o_{2} o_{1} o_{6} + o_{2} o_{3} o_{4} + o_{2} o_{4} o_{3} + o_{2} o_{5} o_{2} + o_{2} o_{6} o_{1} + o_{2} o_{7} o_{0} + o_{2}^{2} o_{5} + o_{3} o_{0} o_{6} + o_{3} o_{1} o_{5} + o_{3} o_{2} o_{4} + o_{3} o_{4} o_{2} + o_{3} o_{5} o_{1} + o_{3} o_{6} o_{0} + o_{3}^{3} + o_{4} o_{0} o_{5} + o_{4} o_{1} o_{4} + o_{4} o_{2} o_{3} + o_{4} o_{3} o_{2} + o_{4} o_{5} o_{0} + o_{4}^{2} o_{1} + o_{5} o_{0} o_{4} + o_{5} o_{1} o_{3} + o_{5} o_{2}^{2} + o_{5} o_{3} o_{1} + o_{5} o_{4} o_{0} + o_{6} o_{0} o_{3} + o_{6} o_{1} o_{2} + o_{6} o_{2} o_{1} + o_{6} o_{3} o_{0} + o_{7} o_{0} o_{2} + o_{7} o_{1}^{2} + o_{7} o_{2} o_{0} + o_{8} o_{0} o_{1} + o_{8} o_{1} o_{0} + o_{9} o_{0}^{2}\right) + O\left(z^{10}\right)$$

In [19]:

    

number = 3
eps = exp(2*pi*I/number)
eps


    

    
Out[19]:





$$e^{\frac{2 i \pi}{3}}$$

In [20]:

    

assert 0 == sum(eps**i for i in range(number)).simplify()


    

In [21]:

    

s = sum(multiples(z*eps**i) for i in range(number)).expand().collect(z)


    

In [25]:

    

D = dict(zip(o, repeat(S.One)))
muls = sum((c/number).simplify()*z**i 
           for i in range(40) 
           for c in [s.coeff(z,i)]
           for d in [c.subs(D, simultaneous=True).radsimp()]
           if d.is_Integer)


    

In [26]:

    

muls


    

    
Out[26]:





$$z^{27} o_{9}^{3} + z^{24} \left(o_{6} o_{9}^{2} + o_{7} o_{8} o_{9} + o_{7} o_{9} o_{8} + o_{8} o_{7} o_{9} + o_{8} o_{9} o_{7} + o_{8}^{3} + o_{9} o_{6} o_{9} + o_{9} o_{7} o_{8} + o_{9} o_{8} o_{7} + o_{9}^{2} o_{6}\right) + z^{21} \left(o_{3} o_{9}^{2} + o_{4} o_{8} o_{9} + o_{4} o_{9} o_{8} + o_{5} o_{7} o_{9} + o_{5} o_{8}^{2} + o_{5} o_{9} o_{7} + o_{6} o_{7} o_{8} + o_{6} o_{8} o_{7} + o_{6} o_{9} o_{6} + o_{6}^{2} o_{9} + o_{7} o_{5} o_{9} + o_{7} o_{6} o_{8} + o_{7} o_{8} o_{6} + o_{7} o_{9} o_{5} + o_{7}^{3} + o_{8} o_{4} o_{9} + o_{8} o_{5} o_{8} + o_{8} o_{6} o_{7} + o_{8} o_{7} o_{6} + o_{8} o_{9} o_{4} + o_{8}^{2} o_{5} + o_{9} o_{3} o_{9} + o_{9} o_{4} o_{8} + o_{9} o_{5} o_{7} + o_{9} o_{6}^{2} + o_{9} o_{7} o_{5} + o_{9} o_{8} o_{4} + o_{9}^{2} o_{3}\right) + z^{18} \left(o_{0} o_{9}^{2} + o_{1} o_{8} o_{9} + o_{1} o_{9} o_{8} + o_{2} o_{7} o_{9} + o_{2} o_{8}^{2} + o_{2} o_{9} o_{7} + o_{3} o_{6} o_{9} + o_{3} o_{7} o_{8} + o_{3} o_{8} o_{7} + o_{3} o_{9} o_{6} + 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o_{7} o_{8} o_{0} + o_{7}^{2} o_{1} + o_{8} o_{0} o_{7} + o_{8} o_{1} o_{6} + o_{8} o_{2} o_{5} + o_{8} o_{3} o_{4} + o_{8} o_{4} o_{3} + o_{8} o_{5} o_{2} + o_{8} o_{6} o_{1} + o_{8} o_{7} o_{0} + o_{9} o_{0} o_{6} + o_{9} o_{1} o_{5} + o_{9} o_{2} o_{4} + o_{9} o_{3}^{2} + o_{9} o_{4} o_{2} + o_{9} o_{5} o_{1} + o_{9} o_{6} o_{0}\right) + z^{12} \left(o_{0} o_{3} o_{9} + o_{0} o_{4} o_{8} + o_{0} o_{5} o_{7} + o_{0} o_{6}^{2} + o_{0} o_{7} o_{5} + o_{0} o_{8} o_{4} + o_{0} o_{9} o_{3} + o_{1} o_{2} o_{9} + o_{1} o_{3} o_{8} + o_{1} o_{4} o_{7} + o_{1} o_{5} o_{6} + o_{1} o_{6} o_{5} + o_{1} o_{7} o_{4} + o_{1} o_{8} o_{3} + o_{1} o_{9} o_{2} + o_{2} o_{1} o_{9} + o_{2} o_{3} o_{7} + o_{2} o_{4} o_{6} + o_{2} o_{5}^{2} + o_{2} o_{6} o_{4} + o_{2} o_{7} o_{3} + o_{2} o_{8} o_{2} + o_{2} o_{9} o_{1} + o_{2}^{2} o_{8} + o_{3} o_{0} o_{9} + o_{3} o_{1} o_{8} + o_{3} o_{2} o_{7} + o_{3} o_{4} o_{5} + o_{3} o_{5} o_{4} + o_{3} o_{6} o_{3} + o_{3} o_{7} o_{2} + o_{3} o_{8} o_{1} + o_{3} o_{9} o_{0} + o_{3}^{2} o_{6} + o_{4} o_{0} o_{8} + o_{4} o_{1} o_{7} + o_{4} o_{2} o_{6} + o_{4} o_{3} o_{5} + o_{4} o_{5} o_{3} + o_{4} o_{6} o_{2} + o_{4} o_{7} o_{1} + o_{4} o_{8} o_{0} + o_{4}^{3} + o_{5} o_{0} o_{7} + o_{5} o_{1} o_{6} + o_{5} o_{2} o_{5} + o_{5} o_{3} o_{4} + o_{5} o_{4} o_{3} + o_{5} o_{6} o_{1} + o_{5} o_{7} o_{0} + o_{5}^{2} o_{2} + o_{6} o_{0} o_{6} + o_{6} o_{1} o_{5} + o_{6} o_{2} o_{4} + o_{6} o_{3}^{2} + o_{6} o_{4} o_{2} + o_{6} o_{5} o_{1} + o_{6}^{2} o_{0} + o_{7} o_{0} o_{5} + o_{7} o_{1} o_{4} + o_{7} o_{2} o_{3} + o_{7} o_{3} o_{2} + o_{7} o_{4} o_{1} + o_{7} o_{5} o_{0} + o_{8} o_{0} o_{4} + o_{8} o_{1} o_{3} + o_{8} o_{2}^{2} + o_{8} o_{3} o_{1} + o_{8} o_{4} o_{0} + o_{9} o_{0} o_{3} + o_{9} o_{1} o_{2} + o_{9} o_{2} o_{1} + o_{9} o_{3} o_{0}\right) + z^{9} \left(o_{0} o_{1} o_{8} + o_{0} o_{2} o_{7} + o_{0} o_{3} o_{6} + o_{0} o_{4} o_{5} + o_{0} o_{5} o_{4} + o_{0} o_{6} o_{3} + o_{0} o_{7} o_{2} + o_{0} o_{8} o_{1} + o_{0} o_{9} o_{0} + o_{0}^{2} o_{9} + o_{1} o_{0} o_{8} + o_{1} o_{2} o_{6} + o_{1} o_{3} o_{5} + o_{1} o_{4}^{2} + o_{1} o_{5} o_{3} + o_{1} o_{6} o_{2} + o_{1} o_{7} o_{1} + o_{1} o_{8} o_{0} + o_{1}^{2} o_{7} + o_{2} o_{0} o_{7} + o_{2} o_{1} o_{6} + o_{2} o_{3} o_{4} + o_{2} o_{4} o_{3} + o_{2} o_{5} o_{2} + o_{2} o_{6} o_{1} + o_{2} o_{7} o_{0} + o_{2}^{2} o_{5} + o_{3} o_{0} o_{6} + o_{3} o_{1} o_{5} + o_{3} o_{2} o_{4} + o_{3} o_{4} o_{2} + o_{3} o_{5} o_{1} + o_{3} o_{6} o_{0} + o_{3}^{3} + o_{4} o_{0} o_{5} + o_{4} o_{1} o_{4} + o_{4} o_{2} o_{3} + o_{4} o_{3} o_{2} + o_{4} o_{5} o_{0} + o_{4}^{2} o_{1} + o_{5} o_{0} o_{4} + o_{5} o_{1} o_{3} + o_{5} o_{2}^{2} + o_{5} o_{3} o_{1} + o_{5} o_{4} o_{0} + o_{6} o_{0} o_{3} + o_{6} o_{1} o_{2} + o_{6} o_{2} o_{1} + o_{6} o_{3} o_{0} + o_{7} o_{0} o_{2} + o_{7} o_{1}^{2} + o_{7} o_{2} o_{0} + o_{8} o_{0} o_{1} + o_{8} o_{1} o_{0} + o_{9} o_{0}^{2}\right) + z^{6} \left(o_{0} o_{1} o_{5} + o_{0} o_{2} o_{4} + o_{0} o_{3}^{2} + o_{0} o_{4} o_{2} + o_{0} o_{5} o_{1} + o_{0} o_{6} o_{0} + o_{0}^{2} o_{6} + o_{1} o_{0} o_{5} + o_{1} o_{2} o_{3} + o_{1} o_{3} o_{2} + o_{1} o_{4} o_{1} + o_{1} o_{5} o_{0} + o_{1}^{2} o_{4} + o_{2} o_{0} o_{4} + o_{2} o_{1} o_{3} + o_{2} o_{3} o_{1} + o_{2} o_{4} o_{0} + o_{2}^{3} + o_{3} o_{0} o_{3} + o_{3} o_{1} o_{2} + o_{3} o_{2} o_{1} + o_{3}^{2} o_{0} + o_{4} o_{0} o_{2} + o_{4} o_{1}^{2} + o_{4} o_{2} o_{0} + o_{5} o_{0} o_{1} + o_{5} o_{1} o_{0} + o_{6} o_{0}^{2}\right) + z^{3} \left(o_{0} o_{1} o_{2} + o_{0} o_{2} o_{1} + o_{0} o_{3} o_{0} + o_{0}^{2} o_{3} + o_{1} o_{0} o_{2} + o_{1} o_{2} o_{0} + o_{1}^{3} + o_{2} o_{0} o_{1} + o_{2} o_{1} o_{0} + o_{3} o_{0}^{2}\right) + o_{0}^{3}$$

In [27]:

    

muls.subs(dict(zip(o, u)))


    

    
Out[27]:





$$u_{0}^{3} + u_{9}^{3} z^{27} + z^{24} \left(3 u_{6} u_{9}^{2} + 6 u_{7} u_{8} u_{9} + u_{8}^{3}\right) + z^{21} \left(3 u_{3} u_{9}^{2} + 6 u_{4} u_{8} u_{9} + 6 u_{5} u_{7} u_{9} + 3 u_{5} u_{8}^{2} + 3 u_{6}^{2} u_{9} + 6 u_{6} u_{7} u_{8} + u_{7}^{3}\right) + z^{18} \left(3 u_{0} u_{9}^{2} + 6 u_{1} u_{8} u_{9} + 6 u_{2} u_{7} u_{9} + 3 u_{2} u_{8}^{2} + 6 u_{3} u_{6} u_{9} + 6 u_{3} u_{7} u_{8} + 6 u_{4} u_{5} u_{9} + 6 u_{4} u_{6} u_{8} + 3 u_{4} u_{7}^{2} + 3 u_{5}^{2} u_{8} + 6 u_{5} u_{6} u_{7} + u_{6}^{3}\right) + z^{15} \left(6 u_{0} u_{6} u_{9} + 6 u_{0} u_{7} u_{8} + 6 u_{1} u_{5} u_{9} + 6 u_{1} u_{6} u_{8} + 3 u_{1} u_{7}^{2} + 6 u_{2} u_{4} u_{9} + 6 u_{2} u_{5} u_{8} + 6 u_{2} u_{6} u_{7} + 3 u_{3}^{2} u_{9} + 6 u_{3} u_{4} u_{8} + 6 u_{3} u_{5} u_{7} + 3 u_{3} u_{6}^{2} + 3 u_{4}^{2} u_{7} + 6 u_{4} u_{5} u_{6} + u_{5}^{3}\right) + z^{12} \left(6 u_{0} u_{3} u_{9} + 6 u_{0} u_{4} u_{8} + 6 u_{0} u_{5} u_{7} + 3 u_{0} u_{6}^{2} + 6 u_{1} u_{2} u_{9} + 6 u_{1} u_{3} u_{8} + 6 u_{1} u_{4} u_{7} + 6 u_{1} u_{5} u_{6} + 3 u_{2}^{2} u_{8} + 6 u_{2} u_{3} u_{7} + 6 u_{2} u_{4} u_{6} + 3 u_{2} u_{5}^{2} + 3 u_{3}^{2} u_{6} + 6 u_{3} u_{4} u_{5} + u_{4}^{3}\right) + z^{9} \left(3 u_{0}^{2} u_{9} + 6 u_{0} u_{1} u_{8} + 6 u_{0} u_{2} u_{7} + 6 u_{0} u_{3} u_{6} + 6 u_{0} u_{4} u_{5} + 3 u_{1}^{2} u_{7} + 6 u_{1} u_{2} u_{6} + 6 u_{1} u_{3} u_{5} + 3 u_{1} u_{4}^{2} + 3 u_{2}^{2} u_{5} + 6 u_{2} u_{3} u_{4} + u_{3}^{3}\right) + z^{6} \left(3 u_{0}^{2} u_{6} + 6 u_{0} u_{1} u_{5} + 6 u_{0} u_{2} u_{4} + 3 u_{0} u_{3}^{2} + 3 u_{1}^{2} u_{4} + 6 u_{1} u_{2} u_{3} + u_{2}^{3}\right) + z^{3} \left(3 u_{0}^{2} u_{3} + 6 u_{0} u_{1} u_{2} + u_{1}^{3}\right)$$

In [28]:

    

muls.subs(dict(zip(o, repeat(1))))


    

    
Out[28]:





$$z^{27} + 10 z^{24} + 28 z^{21} + 55 z^{18} + 73 z^{15} + 73 z^{12} + 55 z^{9} + 28 z^{6} + 10 z^{3} + 1$$

In [61]:

    

s = _.coeff(z,8)
s.radsimp()


    

    
Out[61]:





$$0$$

In [57]:

    

_.simplify()


    

    
Out[57]:





$$\left(1 - \sqrt[3]{-1} + \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}\right) {o}_{2}^{4}$$

In [58]:

    

_.powsimp()


    

    
Out[58]:





$$\left(1 - \sqrt[3]{-1} + \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}\right) {o}_{2}^{4}$$

In [ ]: