아들과 딸 파라독스

다음 문제는 수학자인 마틴 가드너가 1959년 사이언티픽 아메리칸에 게재하였던 문제이다.

원래 원문은 다음과 같다

(Q1) Mr. Jones has two children. The older child is a boy. What is the probability that both children are boys?
(Q2) Mr. Smith has two children. At least one of them is a boy. What is the probability that both children are boys?

문제의 본질을 바꾸지 않고 다음과 같이 번역할 수 있다.

(문제 1) 두 아이가 있는 어떤 집에서 첫째 아이가 남자이다. 두 아이가 모두 남자일 확률은?
(문제 2) 두 아이가 있는 어떤 집에서 두 아이 중 한 명이 남자이다. 두 아이가 모두 남자일 확률은?

두 아이의 성별에 대해 다음과 같은 경우가 있을 수 있다.

	둘째=Boy	둘째=Girl
첫째=Boy	BB	BG
첫째=Girl	GB	GG

첫번째 문제의 답은 $\dfrac{1}{2}$ 이다.

	둘째=Boy	둘째=Girl
첫째=Boy	BB	BG
~~첫째=Girl~~	GB	GG

이 문제가 파라독스가 된 이유는 두번째 문제의 답이 사실 두 가지가 있을 수 있기 때문이다. 이 답은 "두 아이 중 한 명이 남자이다"라는 정보의 질(quality)에 따라 달라진다.

다음과 같은 두 가지 경우를 생각하자.

경우 1: "두 아이 중 적어도 한 명이 남자인가요"라는 질문에 부모가 "네"라고 대답한 경우
경우 2: 그 집에서 나오는 아이를 우연히 보았는데 그 아이가 남자인 경우 또는 그 집에 전화를 걸었는데 남자 어린 아이가 전화를 받은 경우

경우 1에서 두 아이가 모두 남자일 확률은 표에서 보듯이 $\dfrac{1}{3}$이다.

	둘째=Boy	둘째=Girl
첫째=Boy	BB	BG
첫째=Girl	GB	GG

이를 베이즈 정리로 풀면 다음과 같다. 이 식에서 $Y$는 "두 아이 중 적어도 한 명이 남자인가요"라는 질문에 부모가 "네"라고 대답한 경우를 뜻한다.

$$ \begin{eqnarray} P(BB|Y) &=& \dfrac{P(Y|BB)P(BB)}{P(Y)} \\ &=& \dfrac{P(Y|BB)P(BB)}{P(Y|BB)P(BB) + P(Y|BG)P(BG) + P(Y|GB)P(GB) + P(Y|GG)P(GG)} \\ &=& \dfrac{1\cdot 0.25}{1\cdot 0.25 + 1\cdot 0.25 + 1\cdot 0.25 + 0\cdot 0.25} \\ &=& \dfrac{0.25}{0.75} = \dfrac{1}{3} \end{eqnarray} $$

경우 2에서는 남자 아이를 목격하지는 못해도 실제로는 남자 아이가 있는 경우도 있을 수 있기 때문에 답은 다음과 같이 $\dfrac{1}{2}$가 된다.

둘째=Boy

둘째=Girl </tr>

첫째=Boy

BG (남자 목격 확률 1/2) </tr>

첫째=Girl

GB (남자 목격 확률 1/2)

GG </tr> </tbody></table>

베이지 정리로 풀면 다음과 같다. 이 식에서 $Y$는 "그 집에서 나오는 아이를 우연히 보았는데 그 아이가 남자인 경우"를 뜻한다.

$$ \begin{eqnarray} P(BB|Y) &=& \dfrac{P(Y|BB)P(BB)}{P(Y)} \\ &=& \dfrac{P(Y|BB)P(BB)}{P(Y|BB)P(BB) + P(Y|BG)P(BG) + P(Y|GB)P(GB) + P(Y|GG)P(GG)} \\ &=& \dfrac{1\cdot 0.25}{1\cdot 0.25 + 0.5\cdot 0.25 + 0.5\cdot 0.25 + 0\cdot 0.25} \\ &=& \dfrac{0.25}{0.50} = \dfrac{1}{2} \end{eqnarray} $$