F 분포

• 의 샘플 분산을 구해서 2개를 나눈다. 이건 언제 필요할까? 분산을 비교할 때
• 의 반이 균일도가 얼마나 다른지 비교할 때. 분산이 같은 지 안 같은지를 보려고
• 서 그 값들을 검정하기 위해서 쓴다. 1이 나와야 된다. 하지만 분포에 따라서 다른 모양이 되므로 1보다 큰 값이 나오면 분산이 2배가 나올 가능성이 얼마나 되느냐를 파악할 수 있다.
• 여기서는 자유도가 2개이다.

• F분포는 두 종류의 분산비율에 의한 분포
• F 분포는 독립적인 Chi-square 변수들이 해당하는 자유도에 의하여 나눠진 값의 비율에 의한 분포

student-t 분포와 카이 제곱 분포는 가우시안 정규 분포를 따르는 하나의 확률 변수 $X$ 의 $n$개의 샘플로부터 생성할 수 있다.

이와 비슷하게 F 분포도 카이 제곱 분포를 따르는 독립적인 두 개의 확률 변수 $\chi^2_1(n_1)$와 $\chi^2_2(n_2)$의 확률 변수 샘플로부터 생성할 수 있다. 두 카이 제곱 분포의 샘플을 각각 $x_1$, $x_2$이라고 할 때 이를 각각 $n_1$, $n_2$로 나누어 그 비율을 구하면 $F(n_1, n_2)$ 분포가 된다. $n_1$, $n_2$는 F 분포의 자유도 인수이다.

$$ \dfrac{x_1 / n_1}{x_2/ n_2} \sim F(n_1, n_2) $$

F 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 정의된다.

$$ f(x; n_1,n_2) = \dfrac{\sqrt{\dfrac{(n_1\,x)^{n_1}\,\,n_2^{n_2}} {(n_1\,x+n_2)^{n_1+n_2}}}} {x\,\text{Beta}\!\left(\frac{n_1}{2},\frac{n_2}{2}\right)} $$

SciPy stats 서브패키지의 f 클래스는 F 분포를 지원한다.