Sovrapposizione incoerente da sorgenti astrofisiche sconosciute.
Natura cosmologica: le onde gravitazionali si separano molto prima della radiazione elettromagnetica, informazioni sui primi momento del bigbang
Provenienza astrofisica
BG di origine cosmologica, rivelarlo porterebbe a grande impatto in cosmologia dell'Universo primordiale e su fisica di alte energie, aprendo nuove finestre per esplorare l'Universo nelle sue prime fasi dell'evoluzione, quindi a energie molto alte, inaccessibili in altri modi.
Questo perché le particelle (eg fotoni, gravitoni) che si disaccoppiano dal plasma primordiale al tempo $t_{dec}$, quando l'universo aveva una temperatura $T_{dec}$, danno una fotografia dell'universo a quella temperatura (tutte le informazioni sull'universo quando le particelle erano in equilibrio termico vengono distrutte dalle successive interazioni). Più debole è l'interazione della particella, più alta è la scala energetica alla quale queste escono dall'equilibrio termico con il plasma. Dato che l'interazione gravitazionale è di gran lunga la più debole, le onde gravitazionali possono sondare davvero profondamente nell'universo primordiale: il gravitone si disaccoppia prima della scala di Planck (data dalla massa di Planck $M_P \sim 10^{19} GeV$), rappresentando quindi un'informazione sulla fisica a energie molto alte. Le onde gravitazionali prodotte a quel tempo non hanno perso memoria delle condizioni di produzione, mantenendo tipiche frequenze, spettro e intensità dando importanti info
Un BG di origini cosmologiche è atteso essere isotropo, stazionario e non polarizzato. Di origini astrofisiche non necessariamente, almeno a bassi z: si potrebbe avere un eccesso di intensità nelle regioni del disco galattico o verso galassie vicine.
Lo si può caratterizzare in 3 modi equivalenti, in termini di:
L'output di un detector è $o(t) = s(t) + n(t)$ (signal + noise), il segnale di onde di una certa polarizzazione $r$ dipende dalla pattern function $F_r(\Omega = (\theta, \phi))$: la sua trasformata di Fourier è $\tilde{s}(\nu) = \sum_r \int d\Omega \tilde{h}_r(\nu, \Omega) F_r(\Omega)$. In generale dipende anche dall'angolo tra gli assi di polarizzazione e quelli del sistema di riferimento, dipendenza eliminabile scegliendo opportunamente il sisrif, ma per un bg stocastico non polarizzato la dipendenza scompare per assunzione.
Dato che consideriamo anche un bg stazionario, la media temporale svanisce pure, quindi consideriamo la media $\langle s^2(t)\rangle = F \int_0^\infty d \nu S_h(\nu)$, con $F = \sum_r \int d \Omega / 4 \pi \cdot F_r(\Omega)F_r(\Omega)$ che esprime (nb quel $4 \pi$) la media su tutte le direzioni di $F_+^2+F_\times^2$, cioè quanta sensibilità si perde a causa del fatto che le onde vengono da tutte le direzioni invece che da quella privilegiata dal rivelatore.
Per interferometri $F = 2/5 sen^2 \alpha$, con $\alpha$ l'angolo tra i bracci che esprime la perdita di sensibilità per interferometri con bracci non perpendicolari.
Mentre abbiamo visto come funziona $s$, la media d'insieme di Fourier del rumore è $\langle \tilde{n}^*(\nu) \tilde{n}(\nu')\rangle = \delta(\nu-\nu')S_n(\nu)/2 \Rightarrow \langle n^2(t)\rangle = \int_0^\infty d\nu S_n(\nu)$, con $S_n$ detta densità spettrale quadra di rumore.
Il livello di rumore del detector è misurato in termini di strain sensitivity $\tilde{f}_\nu := \sqrt{S_n(\nu)}$, che va linearmente con il rumore (radice quadrata della densità quadra) è ha dimensioni $Hz^{-\frac{1}{2}}$.
Dato quindi $\langle s^2(t)\rangle$ e $\langle n^2(t)\rangle$, risulta che in un singolo rivelatore, un bg stocastico si manifesta come eccesso di rumore (TODO non ho capito se questo risulta da qualcosa di questa argomentazione (pgg 295-296 main rev)) e sarà osservabile a una data frequenza $\nu$, se $S_h(\nu) > F^{-1} S_n(\nu)$. Questa condizione può essere espressa in termini di $h_0^2 \Omega_{gw}\propto \nu^3 S_h(\nu)$, tenendo conto che $S_n(\nu) = h_\nu^2$: $h_0^2 \Omega_{gw}^{min} \simeq 1/100F \cdot (\nu/100 Hz)^3 \cdot (\tilde{h}_\nu / 10^{-22} Hz^{-1/2})^2$
Per rivelare un BG la strategia ottimale è correlate due o più detectors, dato che il segnale si aspetta essere molto più baso del livello di rumore di qualsiasi detector singolo presente o futuro (eccetto LISA). Consideriamo l'output dell'$i$esimo rivelatore $o_i(t) = s_i(t) + n_i(t)$, con $s_i(\tilde{h}_r, F_i^r ) << n_i$, dove ovviamente l'ampiezza dell'onda è uguale per tutti i rivelatori, ma la $F$ dipende dal rivelatore e quindi anche $s$. Si possono correlare gli output raccolti dai due rivelatori in un tempo $T$ (grande per poter fare trasformata di Fourier in $\pm \infty$) definendo $o_{12} = \int_{-T/2}^{+T/2} dt dt' S_1(t)S_2(t')Q(t-t') \simeq \int_{-\infty}^\infty d\nu \tilde{S}^*_1(\nu) \tilde{S}_2(\nu)\tilde{Q}(\nu) $, con $Q$ la funzione reale di filtro ($\delta$, matched, etc) che in ogni caso cade rapidamente a zero per grandi $|t-t'|$. Facendo la media d'insieme dell'output totale $\langle o_{12} \rangle$, il contributo dal bg (segnale) è $\langle s_{12}\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} d\nu \langle \tilde{s}_1\tilde{s}_2\rangle \tilde{Q} = T \int_{-\infty}^\infty d\nu\: S_h(\nu)/2 \cdot \Gamma(\nu) \tilde{Q}(\nu)$, con $\Gamma(\nu) = \sum_r \int d\Omega/4\pi F_1^r(\Omega) F_2^r(\Omega) e^{i 2\pi \nu \Omega \delta \vec{x} /c} $. Se scriviamo $F_{12}^{align} \sum_r \int d\Omega/4\pi F_1^r(\Omega) F_2^r(\Omega)|_{align}$, grandezza analoga a $F$ ma per due rivelatori allineati, possiamo definire la funzione di overlap $\gamma(\nu) = \Gamma(\nu)/F_{12}^{align}$, che tiene conto separatamente sia della differente posizione dei due rivelatori, sia della loro relativa orientazione. Per due interferometri con bracci ortogonali $\gamma(\nu) = 5/2 \cdot \Gamma(\nu)$.
L'optimal filter è $\tilde{Q}_{opt}(\nu) \propto \Gamma(\nu) \frac{S_h(\nu)}{S_n^2(\nu)}$, il quale massimizza il rapporto segnale-rumore nella correlazione, e dipende dal segnale considerato, dato che c'è $S_h$, quindi se non è noto a priori va fatta data analisi considerando un set di possibili template di segnale, e quindi un set di possibili filtri. NB: nel caso di antenne risonanti, data la banda molto piccola, questo punto è irrilevante (si usa delta e basta immagino).
Con l'optimal filter $[S/R] ^ 4 = 2T\int_0^\infty d \nu \Gamma S_h \tilde{Q}_{opt} $. L'effetto di un differente allineamento si considera esplicitando nell'equazione $\Gamma(\nu) \simeq F_{12}^{non align}\gamma(\nu)$. Ciò comporta una riduzione del rapporto. TODO quanto? come?
L'ampiezza caratteristica del segnale $h_c$ contiene tutte le informazioni sull'effetto fisico ed è indipendente dal'apparato. A questa ampiezza associamo un'ampiezza corrispondente di rumore $h_n$, che incorpora tutte le informazioni sull'apparato, e il rapporto ottimale $S/R$ può essere definito come $h_c/h_n$.
Questo tuttavia può essere fatto, sempre nel limite segnale $<<$ rumore, solo se si prende un intervallo di frequenze abbastanza piccolo da poter considerare lo spettro $\Gamma S_h/S_n$ costante nell'integrale di S/R. Con antenne risonanti non è un problema, ma con rivelatori con grandi bande di sensibilità come gli interferometri la situazione può essere problematica e dipende dalla forma del segnale per questo si fanno FFT corte in analisi? TODO, per cui è obbligatorio integrazioni numeriche per il calcolo dell'integrale $[S/R]$.
Con un detector, il segnale minimo osservabile, imponendo $S/R = 1$, è dato dalla condizione $S_h(\nu) \geq S_n(\nu) / F \Rightarrow h_{min}^1 = \sqrt{2 \nu S_n(\nu)/F}$. Con la coincidenza di due detectors vicini dello stesso tipo ($\Gamma \simeq F$) sarà $h_{min} = h_n(\nu) \simeq [2/( T \Delta \nu)]^{1/4} h_{min}^1$, mostrando che la riduzione del rumore aumenta se aumentiamo il tempo di integrazione o la banda di frequenze dove è possibile la coincidenza.
In generale, il livello di rumore può essere espresso quindi dalla formula $$h_n(\nu) = \left(\frac{2}{T \Delta \nu}\right)^\frac{1}{4} \left(\frac{\nu S_n(\nu)}{\Gamma(\nu)}\right)^\frac{1}{2}$$
NB $h^2_0 \Omega_{gw}\propto h_c^2$, quindi un miglioramento in sensibilità di un fattore due significa che andiamo a osservare densità di energia 4 volte più piccole.
La situazione ideale per il stochastic bg si ha con due rivelatori esattamente uguali e con stessa orientazione (per non avere perdite di sensibilità) e lontani solo poche decine di km, in modo da poter crosscorrelare escludendo vari rumori locali ma senza perdere sensibilità a alte frequenze a causa del cutoff dato dall'overlap.
Virgo e LIGO puntano a una sensibilità massima $\tilde{h}_\nu \approx 10^{-24}$ su una banda di larghezza $\sim 1kHz$. Usando un anno di osservazioni $T = 1 yr \sim 300 \cdot 10^6 s $ avremo un $h_n$
**ragionamento che non capisco, non capisco da dove prende $S(\nu)$, comunque alla fine dà un valore minimo di bg individuabile $h^2_0 \Omega_{gw}^{min}\sim 10^{-7}$-$10^{-9} (\nu/100Hz)^3(\tilde{h}_\nu/10^{-22} 1/\sqrt{Hz})^2(SNR/1.65)^2(1yr/T)^{1/2}$ (SNR 1.65 significa 90% conf lev) per due detector uguali, vicini
Le insidie maggiori, per la rivelazione di uno stochastic bg piatto, vengono dal rumore termico degli specchi che domina tra 40 e 200 Hz e dal rumore termico del pendolo che domina sotto i 40Hz
Ovviamente se il bg non ha andamento piatto, ma crescente/decrescente, va tenuto conto in relazione alla curva dello strumento.
Nei casi di Virgo e i due LIGO, correlati a due a due, si ha sempre (nei non advanced) una stima indicativa di un min detec bg di $\approx 10^{-6}$ (da vedere con gli advanced)
Interferometro spaziale con braccio molto più lungo dei 3km di LIGO-VIRGO (5 Mm), sensibile quindi a frequenze più basse ($10^{-4}-1 \: Hz$ contro $sim 1 - 10^4 \: Hz$ TODO mettere grafico in fig7 main rev), con il vantaggio di non avere problemi con il rumore sismico e antropico e con il rumore da gradiente gravitazionale. Obiettivo è strain sensitivity di $\sim 10^{-21} Hz^{-1/2}$ a $\sim 1 mHz$.
Dato che si punta a frequenze molto più basse, e dato che $h_0^2 \Omega_{gw}^{min} \propto \nu^3$ a parità di ampiezza di segnale, il segnale minimo misurabile diventa molto più basso, fino a $\sim 10^{-12}$ per $\nu = 1 mHz$ e $S/R = 5$. Dato che LISA non può essere correlato, essendo un esperimento unico, non si può stare a rapporti SR bassi, ma si punta a un $S/R$ di 5.
NB dato che $h_0^2 \Omega_{gw}(\nu) \simeq h^2_c(\nu)$, dato che $S/R \propto h_c$ fissato il rumore, $\Rightarrow$ $h_0^2 \Omega_{gw}^{min}\propto [S/R]^2$
NB si tiene anche conto che l'angolo di LISA non è 90° ma 60 e degli effetti del moto, che portano a una perdita di sensibilità $\sim 1/\sqrt{5}$
Il detector ha miglior sensibilità tra qualche mHz a qualche decina di mHz, sopra decade perché le lunghezze d'onda diventano significativamente più piccole del braccio, sotto invece il rumore cresce rapidamente a causa di forze spurie sulle masse test. Sotto qualche mHz è atteso il BG stocastico astrofisico da binarie con WD, che può coprire il BG cosmologico TODO ancora non ho capito cosa determina intervallo di sensibilità di frequenze, e se e come la lunghezza dei bracci aumenta la sensibilità
[7], pp 50-55
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0008027.pdf pgg 12-14
Amplificazione fluttuazioni vuoto Decadimento stringhe cosmiche Transizioni di fase: bubble, turbolenze, etc Reheating
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0008027.pdf pgg 10-12
un altro possibile limite potrebbe essere studio di light deflection da gw
https://arxiv.org/pdf/1508.02393.pdf aggiornamento al 2015 con Planck
Dato che anche facendo un matched filter, su un singolo detector non hai modo di distinguere rumore da bg perché sono entrambi stocastici random etc, si deve fare uno spettro crosscorrelato dei due rivelatori e poi su quello fare il matchfilter, o meglio fare un matched filter direttamente mediando sulle trasformate di Fourier dei due rivelatori. NB trasformate! non spettri o altro, deve rimanere p reale e p immaginaria per poter ottenere uno spettro crosscorr medio sui due rivelatori
Domanda: cosa si ottiene se si fa la trasformata di fourier della crosscorr tra due timeseries?
RIPASSARE E SOTTILINEARE COME VARIA SENSIB CON SINGLE DETECT RESPONSE E MULTI DETECT RESPONSE!!
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