Para entregarse el jueves, 19 de febrero de 2015, antes de las 14 horas.
LA TAREA SE HACE Y SE ENTREGA EN PAREJAS
Considérese un caminante aleatorio que vive en los enteros. Es simétrico, es decir, en cada paso, brinca a la izquierda o al derecha, los dos con probabilidad $\frac{1}{2}$. Empieza en $1$.
Estudiaremos el tiempo de primer paso a $0$, es decir, ¿cuándo llegará por primera vez el caminante a $0$? A esta variable aleatoria la llamaremos $\tau$.
[1] Escribe una función que simule al caminante aleatorio, empezando en $1$ hasta que llegue a $0$. El caminante vive en una caja de tamaño $L+1$, es decir en $\{0, 1, \ldots, L-1, L\}$, y la función debe tomar $L$ como parámetro.
Hay una frontera reflejante en $L+\frac{1}{2}$: si el caminante está en $L$ e intenta brincar a la derecha, se refleja y se queda en donde estaba.
La función regresa el tiempo que tardó en llegar a $0$.
[2] Escribe una función que calcule el tiempo promedio $\langle \tau_L \rangle$ en llegar a $0$ para un sistema de tamaño $L$, sobre un número de corridas $N$.
[3] Dibuja el tiempo promedio $\langle \tau_L \rangle$ en función del tamaño $L$. ¿Cómo escala el tiempo promedio con $L$? ¿Qué pasa cuando $L \to \infty$?
[4] Escribe una función que calcule la distribución de probabilidad de $\tau_L$.
[5] Dibuja la distribución de probabilidad $f_{\tau_L}(t)$ de $\tau_L$ para distintas $L$ en una sola gráfica. ¿Cómo escala la cola de la distribución?
[6] ¿Cómo se ve la distribución de $\tau_\infty$? ¿Cómo es su cola? ¿Qué implica para el tiempo promedio de $\tau_\infty$?