$\newcommand{\ss}{\pmb \sigma} \newcommand{\tt}{\pmb \tau} \newcommand{\pp}{\pmb \pi}$
Ahora estamos listos para poder ¡simular el modelo de Ising a una temperatura $T$ fija! Ocuparemos todo lo que hemos visto hasta ahora en el curso.
La idea genial, que se ha redescubierto varias veces, es el de diseñar una cadena de Markov, es decir, diseñar su matriz de transición, tal que su distribución estacionaria es la que queramos. Llamaremos la distribución estacionaria $\pi(\ss)$.
En el caso de la física estadística, la distribución deseada es (por el momento) la de Boltzmann,
$$\pi(\ss) = \frac{1}{Z(\beta)} e^{-\beta E(\ss)}.$$Pero en otros contextos, por ejemplo en la estadística (y posteriormente en el curso), podría interesarnos generar distintas distribuciones estacionarias.
La idea es, entonces, diseñar una matriz de transición $P(\ss \to \tt)$, la cual, recordemos, da las probabilidades de que la cadena, estando en el microestado (configuración) $\ss$, brinque al microestado $\tt$, con el fin de que la cadena de Markov correspondiente a esta matriz de transición tenga la distribución estacionaria $\pi(\ss)$ deseada.
Resta una sola pregunta: ¿cómo hacer esto?
Recordemos de un notebook anterior que hay una condición necesaria para que la distribución de probabilidad $\pp$ sea una distribución estacionaria de la matriz de transición $\mathsf{P}$ con entradas $P(\ss \to \tt)$, llamada la condición de balance.
Físicamente, la condición de balance expresa el hecho de que la cantidad de probabilidad que fluye de $\ss$ a todos los demás estados en un paso es la misma que la cantidad de probabilidad que fluye de todos los demás estados hacia $\ss$.
[1] Escribe la condición de balance usando esta notación.
Muchos métodos de Monte Carlo usan una condición más fuerte, que es suficiente, pero no necesaria, para que la distribución $\pi$ sea estacionaria para la cadena. Esta condición se llama la condición de balance detallado, y dice que el flujo de probabilidad de un estado $\ss$ a otro $\tt$ es igual al flujo al revés, de $\tt$ a $\ss$, para cualquier par de estados $\ss$ y $\tt$.
La condición de balance detallado se suele imponer, ya que hace más fácil derivar una cadena de Markov adecuada.
[2] (i) Escribe una fórmula para la condición de balance detallado.
(ii) De ahí extrae una condición sobre las probabilidades de transición, en términos de las $\pi(\ss)$.
(iii) En el caso de la distribución de Boltzmann, ¿qué pasa con la $Z$ en esta expresión?
El punto que vimos en el 2(iii) es crucial -- quiere decir que no es necesario conocer la constante de normalización de la distribución de probabilidad.
Pensemos en el modelo de Ising. Tenemos configuraciones $\ss$ y necesitamos diseñar probabilidades de transición a otras configuraciones $\tt$. Una manera natural de generar una nueva configuración es el voltear un espín. Esto nos da una probabilidad $g(\ss \to \tt)$.
[3] ¿Cuánto es $g(\ss \to \tt)$ si $\ss$ y $\tt$ difieren en el valor de sólo un espín? ¿Si difieren en más de un espín?
Habiendo generado, o propuesto, una nueva configuración, tenemos que ver si es "adecuado": lo aceptaremos con probabilidad $\alpha(\ss \to \tt)$, en cuyo caso el estado del sistema cambiará a $\tt$, y lo rechazamos con probabilidad $1-\alpha(\ss \to \tt)$, en cuyo caso el sistema se queda en el mismo estado $\ss$.
La probabilidad de transición $P(\ss \to \tt)$ es la combinación de las dos:
$$P(\ss \to \tt) = g(\ss \to \tt) \cdot \alpha(\ss \to \tt)$$[4] Para el caso de voltear un solo espín, ¿cómo se comparan $g(\ss \to \tt)$ y $g(\tt \to \ss)$. Así, encuentra una relación entre $\alpha$ y $\pi$.
Ahora debemos resolver esta ecuación para encontrar $\alpha$ en términos de $\pi$. Sin embargo, le ecuación no determina $\alpha$ de forma única --tenemos cierta libertad.
[5] Supón que el más grande de $\alpha(\ss \to \tt)$ y $\alpha(\tt \to \ss)$ sea $1$. [Ésta es la elección conocida como "Metropolis-Hastings".]
(i) Encuentra una expresión para $\alpha(\ss \to \tt)$ en términos de $\pi$.
(ii) Escríbelo explícitamente para la distribución de Boltzmann en el modelo de Ising. ¿Cómo depende de la temperatura (o de $\beta$)?
[6] (i) Implementa todo esto en el modelo de Ising:
(ii) En tu simulación, espera un buen rato, y luego promedia la energía y la magnetización en el tiempo.
(iii) Así, encuentra estimados de $\langle E \rangle_T$, y dibújalas como función de $T$.
(iv) Dibuja la energía por espín promedio en función de $T$ para distintos tamaños del sistema $L$, todas en una sola gráfica. ¿Qué observas?
[7] Repite lo mismo para la magnetización. ¿Qué observas? ¿Qué solución le podríamos dar? Hazlo. ¿Qué observas?