El modelo de Ising es un modelo simplificado de un imán tipo hierro.
Consideremos que hay una red periódica de átomos, y que cada átomo tiene un "espín" (dipolo magnético, o "imancito") que puede apuntar hacia arriba o hacia abajo. Los dipolos interactúan con sus vecinos: en el caso ferromagnético, hay una tendencia a que se alineen con sus vecinos.
[Esto se debe a la llamada interacción de intercambio, el cual es un fenómeno cuántico complicado; véase, por ejemplo, el libro The Theory of Magnetism Made Simple de Mattis. No es, de hecho, ¡nada "simple"...!]
Inicialmente trabajeremos con una red cuadrada en dos dimensiones, de tamaño finito $L \times L$. Llamaremos $N := L^2$ el número de espines.
Denotaremos el espín en el lugar $i$ por $\sigma_i \in \{+1, -1\}$, y por una configuración completa por $\pmb {\sigma} := (\sigma_{i})_{i=1}^{N}$. [Nótese que estamos pensando aquí que cada sitio tiene una etiqueta que es un entero. También será útil pensar que la etiqueta es de la forma $(i,j)$.]
Denotaremos por $\Omega_{N}$ el conjunto de todas las configuraciones posibles, es decir, el espacio de configuraciones.
[1] ¿Cuál es la cardinalidad $|\Omega_N|$, es decir, cuántas configuraciones hay?
[2] Escribe una función que genere una configuración "aleatoria". ¿Qué tipo de aleatoriedad es?
[3] La magnetización de una configuración $\pmb \sigma$ se define como $M(\pmb \sigma) := \sum_i \sigma_i$.
(i) Escribe una función para calcular la magnetización de una configuración.
(ii) ¿Cuáles son los valores posibles de la magnetización para un sistema de tamaño $N$?
(iii) Genera bastantes configuraciones al azar y calcula la magnetización de cada una.
(iv) ¿Cuáles valores realmente toma? Dibuja un histograma de los valores de la magnetización que obtienes para un sistema grande. ¿Qué observas?
[4] Podemos llevar a cabo un proceso estocástico en el espacio $\Omega$. Un paso es como sigue:
Escoge un espín al azar.
Cambiarlo al valor opuesto. (Esto se suele llamar un "flip" = "darle la vuelta".)
(i) ¿Qué tipo de proceso es? ¿A qué te recuerda?
(ii) Impleméntalo, partiendo de una configuración aleatoria.
(iii) Dibuja cómo cambia la magnetización en el tiempo. ¿Qué observas?
(iv) ¿Cuál es el promedio temporal (promedio en el tiempo) de la magnetización?
Hasta ahora, no hemos modelado las interacciones entre los espines, que es lo que hace interesante y rico el modelo. Para ello, tomaremos en cuenta que los espines "quieren" alinearse con sus vecinos, es decir, que la energía será menor cuando dos vecinos estén alineados.
[5] Considera un par de espines vecinos $\sigma_i$ y $\sigma_j$. Escribe una tabla de los valores posibles de los dos espines y las energías correspondientes que asignaremos.
[6] (i) Implementa una función que toma una configuración $\pmb \sigma$ y regresa la energía correspondiente $E(\pmb \sigma)$.
(ii) Calcula analíticamente los valores mínimo y máximo posible de la energía para un sistema de tamaño $L_1 \times L_2$. ¿A qué tipo de configuraciones corresponden? ¿Cuántas configuraciones hay con estos valores de la energía?
(iii) Verifica que tu código reproduzca estos resultados analíticos para estas configuraciones.
[7] En la pregunta [6], hubo que escoger qué hacer en las fronteras e la configuración finita. Enumera unas posibilidades de cómo tratar las fronteras e impleméntalas, en particular el caso de fronteras periódicas.