Considera una caminata aleatoria en una dimensión. Hasta ahora, hemos calculado trayectorias individuales (realizaciones) del proceso.
Ahora veamos al sistema desde un punto de vista "dual", en términos ya no de las trayectorias individuales de las partículas, sino en caracterizar la distribución de probabilidad completa.
Sea $P_t(i)$ la probabilidad de que el caminante se encuentre en el sitio $i$ al tiempo (discreto) $t \in \mathbb{N}$. Para una $t$ dada, nos interesa el conjunto de valores $\{ P_t(i)$: $i \in \mathbb{Z} \}$, es decir la distribución de probabilidad (o, estrictamente, función de masa) al tiempo $t$. Podemos pensar en este objeto como un vector $\mathbf{P}_t$ (con, en principio, ¡un número infinito de entradas!)
[1] Supón que el caminante comienza en $i=0$. Escribe la distribución de probabilidad inicial $\mathbf{P}_0$. [Pista: ¿Cuánto vale $P_0(i=57)$, por ejemplo?]
[2] Escribe una ecuación para $\mathbf{P}_{t+1}$, considerando cómo se mueve la probabilidad debido a la dinámica del caminante (brinca a la derecha con probabilidad $p$, y a la izquierda con probabilidad $q:=1-p$). Una ecuación de este tipo se llama una ecuación maestra.
[3] Resuelve numéricamente la ecuación para $p=q=\frac{1}{2}$ y dibuja la evolución de la distribución en el tiempo, como varias curvas en una sola gráfica. Haz el sistema suficientemente grande para que nunca llegue a las fronteras.
¿Qué observas? ¿A qué se parece la distribución? [Este método de resolver la ecuación maestra numéricamente se llama enumeración exacta. ¿A qué se debe el nombre?]
[4] ¿Qué pasa para otros valores de $p$?
[5] Dibuja la evolución en el tiempo como un "heat map" (mapa de calor), que asigna a cada celda un color según su valor. [Esto se puede hacer con las funciones pcolor, pcolormesh e imshow en PyPlot.]
[6] Escribe la ecuación maestra para un caminante en 2 dimensiones.
[7] Resuélvala y dibuja una secuencia de gráficas para mostrar la evolución en el tiempo.
[8] Haz una animación.
[9] Supón que las celdas están separadas por una distancia $\delta x$, y que cada paso del tiempo corresponde a una $\delta t$. Reescribe la ecuación maestra para un caminante en 1D y demuestra que al desarrollarla, obtienes una ecuación diferencial parcial. ¿Cuál es?
[10] Las soluciones analíticas de esta EDP son bien conocidas. Compáralas con tu solución numérica.
Así, vemos que el método de enumeración exacta para un caminante aleatorio provee un método numérico para resolver esta EDP de evolución. [El método se llama el de diferencias finitas.]
Si el sistema no es tan grande, las fronteras cobran importancia.
[11] Consideremos fronteras reflejantes. Inventa una regla de cómo tratar a la probabilidad que intente salir de la frontera. Escribe las ecuaciones correspondientes.
[12] ¿Qué esperas físicamente que pase para tiempos largos si el sistema está contenido con fronteras reflejantes?
[12] Escribe código para implementar estas fronteras. Dibuja la evolución del sistema. ¿Coincide con lo que predijiste?