Dal 1930 in poi sono state scoperte molte risonanze adroniche, suggerendo una possibile regolarità, in maniera analoga alla tabella di Mendeleev. Inizialmente si ipotizzò che tutte le risonanze fossero stati legati di p e n, poi venne aggiunto il barione $\Lambda$ per tener conto dell nuovo scoperto numero quantico di stranezza: tutti gli stati adronici sono composti da p, n, $\Lambda$ e dalle loro antiparticelle (Fermi, Yang, Sakata). Poi venne l'idea di classificare tutte le particelle secondo SU(3), ancora senza menzionare esplicitametne una struttura interna:
Tutti gli adroni sono classificati nel piano $I_3$ vs $Y$.
NB Y = B + S + (...) dove (...) saranno tutti gli altri numeri quantici scoperti in futuro: C, B*, T. $I_3$ è la 3a componente dell'isospin. La carica è $Q = I_3 + Y/2$
La stranezza S allarga la simmetria dell'isospin SU(2) a SU(3) flavor.
Le particelle formano i multipletti di SU(3), ogni multipletto è caratterizzato da stesso spin e parità. L'entità base è un gruppo di 8 particelle. Tutte le particelle e/o le risonanze appartengono a un ottetto o a un multipletto della rappresentazione aggiunta di SU(3) TODO: oltre a 1 (singoletto?) e 8, 10 e 27 (27 della S=+1 mai osservata e quindi scartata NON CAPITO) TODO I MESONI K CON UN sbar HANNO STRANEZZA 1! TODO I BARIONI SONO STATI DI 3 QUARK QUINDI 3X3X3 QUINDI NON CAPISCO! INOLTRE NON HO CAPITO COME SI CALCOLANO I MULTIPLETTI IN GENERALE.
SU(3) flavor ha portato a importanti predizioni di particelle/risonanze, prima che fossero osservate. Nel caso di SU(2) la simmetria di isospin era praticamente esatta, con una differenza imputabile all'interazione EM del protone, ma in SU(3) il raggruppamento di particelle strane e nonstrane risulta in una violazione più forte e per motivi più intrinseci. Con il senno di poi, SU(N>2) sono simmetrie fortemente rotte e non valide, e nel caso di SU(2) era una simmetria accidentale della teoria.
Un multipletto di mesoni pseudoscalari (spin 0 e parità negativa) è quello composto dai 3 $\pi$, 4 K(+-0 e anti0) e i due $\eta$. Uno di mesoni vettoriali con 4 K vettoriali, 3 $\rho$ e $\omega,\;\phi$. I barioni di spin 1/2 hanno un ottetto costituito da p e n, 3 $\Sigma$, il $\Lambda$ e due $\Xi$.
Ma un esempio importante è quello del decupletto di barioni con spin 3/2 (e P positiva), di cui fino agli inizi '60 si conoscevano 4 $\Delta$, 3 $\Sigma$, 2 $\Xi$ e si riuscì a predire tutte le proprietà l'ultimo pezzo del decupletto da considerazioni qualitative. Queste risonanze infatti mostrano una simmetria rispetto a $I_3$ e Y, stando sul triangolo nel piano $Y-I_3$: dopo il tripletto $\Sigma$ è stato scoperto il doppietto $\Xi$ e alla conferenza stesa della scoperta vennero predette le proprietà della particella mancante, $\Omega^-$:
Dato che l'interazione EM conserva la stranezza, neanche alcun decadimento puraente EM potrebbe avvenire. L'unico decadimento non debole che conservi S potrebbe essere $\Omega^-\rightarrow \Lambda^0 K^0 K^-$, ma che è impossibile perché $\sum m_{fin} > m_{in}$. Quindi $\Omega^-$ può decadere soltanto via interazione debole (S-violante) e quindi TODO non ho capito perché non è una risonanza.
Alla fine l'$\Omega^-$, previsto nel 1962, è stato scoperto nel 1964 con le proprietà previste, in una camera a bolle di idrogeno mediante il processo $K^- + p \rightarrow \Omega^- + K^+ + K^0$. Nella camera a bolle si vede il K- che interagendo con il protone produce il K+ che schizza via, il K^0 invisibile perché neutro e il $\Omega^-$ che decade. Nella camera a bolle si vedono 2 coppie di tracce e+e- che vengono dai due gamma in cui è decaduto un $\pi^0$; una traccia bella dritta e una poco curva vengono rispettivamente dal passaggio di un p e di un $\pi^-$ provenienti dal decadimento del barione $\Delta$. $\Delta$ e $\pi^0$ sono entrambi neutri e non si vedono nella camera a bolle ma provengono dal decadimento del $\Xi^0$ in cui è decaduto l'$\Omega^-$, assieme al $\pi^-$ che schizza via molto angolato rispetto alla diramazione del $\Xi$. Quindi il canale della scoperta è stato $\Omega^- \rightarrow \Xi^0+\pi^-$.
L'ipotesi che venne avanzata è che tutti gli adroni sono risultanti da una composizione varia di tre costituenti fondamentali, i quark (in realtà al tempo non si sapeva con certezza se era una semplificazione matematica o la realtà). Questo modello poi venne esteso tenendo conto di nuovi quark (c,b,t) e dinamica (EW, QCD) andando a formare il Modello Standard. Nella sua parte statica lo schema è:
Cioè secondo la teoria di Dirac esistono i coniugati di carica dei quark che sono le relative antiparticelle, gli antibarioni sono formati da 3 antiquark mentre gli antimesoni da una coppia antiquark-quark (cioè i mesoni (neutrali) sono le loro stesse antiparticelle)
I tre quarks formano il tripletto della rappresentazione fondamentale. Nel piano $I_3-Y$ sono rappresentati da vettori: u = (1/2, 1/2); d = (-1/2, 1/2); s = (0, -1).
In assenza di effetti che rompono la simmetria, i membri di ogni multipletto saranno degeneri in massa; l'interazione EM, che non conserva l'isospin, rimuove la degenerazione entro qualche % nel multipletto.
L'interazione forte conserva isospin, allora gli adroni si raccolgono in multipletti, all'interno di ognuno di essi gli stati sono identificati dal valore della terza componente $I_3$.
Essendo l'isospin conservato, l'operatore $\hat{I}$ commuta con l'hamiltoniana delle interazioni forti $\mathcal{H}_s$ e con tutti gli operatori che commutano con questa. Essendo il momento angolare conservato (per invarianza di Lorentz) e parità conservata (l'interazione forte non la viola), tutti i membri di un multipletto di isostpin devono avere stesso spin e stessa parità.
L'isospin è conservato per trasformazioni di SU(2), quindi $\mathcal{H}_s$ è invariante anche rispetto a rappresentazioni di SU(2) unitarie: i numeri quantici che identificano le componenti dei multipletti sono tanti quanti sono i generatori del gruppo diagonalizzabili simultaneamente (perché sono mutualmente commutanti). Questo numero è il grado del gruppo. Nel caso di SU(2) il rango è 1 e l'operatore è $I_3$.
Chiamando $I_i$ i generatori, si avrà $[I_j,I_k] = i \epsilon_{jkm}I_m$ e ogni generatore commuterà con $\hat{I}^2$. Quindi $\hat{I}^2$, hermitiano, può essere diagonalizzato allo stesso tempo di $\hat{I}_3$, e gli autovalori di $\hat{I}_3$ e $\hat{I}^2$ possono assieme "etichettare" gli autovettori e le particelle.
Ciò dà la possibilità di raggruppare gli stati in multipletti con un certo valore di $I$, e in ogni multipletto gli operatori sono rappresentati da matrici quadrate $2n+1$, che realizzano una rappresentazione irriducibile del gruppo, di dimensione $2n+1$.
Questo per SU(2) può essere generalizzato per una simmetria dell'hamiltoniana, cercando quindi l'appropriato gruppo, identificando le sue rappresentazioni irriducibili e derivando i multipletti possibili, infine verificando che questi descrivono stati fisici esistenti.
Questo approccio suggerì l'idea dei multipletti per barioni e mesono, ma in realtà per SU(3), le differenze di massa tra i membri di uno stesso multipletto sono ben più del 5%, arrivando a 20% e anche di più per SU(4) e oltre.
I multipletti sono stati ricercati principalmente con camere a bolle: rivelando milioni di eventi di scattering pbarp con stati finali con svariati pioni; si cercavano picchi nella massa combinata degli stati finali, eg m(vari pioni) e i picchi erano identificati con risonanze di massa più alta, mentre le proprietà dello scattering come la distribuzione angolare davano i numeri quantici.
PAG 32 CAP1 NON CAPITA PER NULLA
I membri di un ottetto sono caratterizzati da due numeri quantici additivi, $I_3$ e $Y$, il gruppo di simmetria deve essere tra quelli che hanno rango 2: 2 dei generatori commutano tra essi, sono diagonalizzabili contemporaneamente. Le rappresentazioni irriducibili del gruppo sono quelle che permettono di derivare ogni membro del multipletto dagli altri, usando le trasformazioni. La rappresentazione fondamentale è quella non triviale (cioè non singoletto) di dimensione inferiore. Nel nostro caso è la rappresentazione 3 che descrive i tre quarks In SU(3) i generatori del gruppo sono otto, di cui i due diagonalizzabili applicati a uno stato della rapp fond (autovettore del generatore come i tre quarks) restituiscono rispettivamente gli autovalori di ipercarica e isospin, rispettivamente $\propto\lambda_8$ per l'ipercarica e $\propto\lambda_3$ (analogo a $\sigma_3$ di Pauli) per l'isospin. Le rappresentazioni aggiunte descrivono i multipletti, ottenuti mediante l'operazione eg $3 \otimes \overline{3} = 1 \oplus 8$. I multipletti si ottengono nello spazio $I_3/Y$ aggiungendo un quark (o antiquark) alla volta dal punto (0,0) e sommando il "vettore" relativo al quark aggiunto
I mesoni pseudoscalari J = 0 e P = -1 sono stati qqbar con spin opposti nell'onda-s TODO CHE AZ SIGNIFICA?, cioè il nonetto pseudoscalare, con il punto (0,0) ottenuto come tre possibili combinazioni di stati qqbar. I mesoni vettori con J^{PC} = 1^{--} non capisco questa notazione TODO J = 1, P=-1 e C=-1 formano il nonetto vettore con anche qui il punto (0,0) combinazione di tre possibili stati qqbar. TODO CHE SIGNIFICA NONETTO? IL NONETTO NON È RAPP AGGIUNTA DI SU3! È OTTETTO PIÙ SINGOLETTO!?!
In questi due nonetti di stati legati qqbar (con soli uds e antiquark relativi), le combinazioni con q di flavor diverso non danno alcuna ambiguità e formano i K e $\pi^{\pm}$. Tuttavia uubar, ddbar e ssbar hanno gli stessi numeri quantici, lo stato del $\pi^0$ (o del $\rho^0$) non è influenzato da s ed è tranquillo per i fatti suoi ma i due stati di singoletto $(u\bar{u}+ d \bar{d} -2 s\bar{s})/\sqrt{6}$ e $u\bar{u}+d\bar{d}+s\bar{s})\sqrt{3}$ possono mixarsi assieme e generare le due eta e omega e phi. In generale le particelle ($\pi^0$, $\eta$, $\eta'$) e ($\rho^0$,$\omega$,$\phi$) sono combinazioni lineari di $q\bar{q}$.
da notare nell'ultimo caso che $\phi = \psi_{8,0}cos\theta-\psi_1 sin \theta$ ha un angolo theta molto prossimo a $arctg(1/\sqrt{2})$ portando $\phi$ a essere praticamente solo uno stato legato di ssbar e rho e omega ad essere simili.
L'ampiezza di decadimento nei canali em puà essere calcolata rispetto a un certo fattore comune e comparata all'esperimento. Uno dei grossi problemi è che la BR di mesoni in coppie e+e- è bassina ($5\cdot10^{-5}$), comunque il calcolo di Γ ρ : Γ ω : Γ φ (in e+e-) = 9:1:2 è stato ampiamente verificato.
Si costruiscono graficamente aggiungendo uno alla volta i 3 quark. Il multipletto di massa più bassa è un ottetto che ha p e n, un tripletto di S = -1 (i 3 $\Sigma^{-,0,+}$), un singoletto S = -1 ($\Lambda$) e un doppietto di S=-2 (i due $\Xi^{-,0}$). Le differenze di massa sono sotto qualche MeV, entro il 5% dovuto all'interazione EM. Il decupletto invece ha salti di 150MeV, indicando sì una simmetria rotta ma una strana regolarità, mai ancora ben compresa.
Operatore che inverte le coordinate spaziali: $P \psi(x_0, \vec{x})= \pm \psi(x_0, -\vec{x})$. Le particelle a riposo (o nel loro sistema di rifeirmento) sono autostati di parità $\hat{P}$, con autovalori $\pm 1$. Dall'equazione di dirac, per spin 1/2: $P_{antipart}=-P_{part}$. Per convenzione fermioni $\rightarrow P = +1$. Invece i bosoni spin 0 hanno $P_{antipart}=P_{part}$, e i bosoni vettori $\gamma, \; g$ hanno P=-1
W e Z non conservano parità nelle loro interazionie, quindi non hanno parità definita.
Per un sistema di molti corpi la parità è un numero quantico moltiplicativo: $P \psi(x_1,...,x_n) = P_1 ... P_n \psi(x_1,...,x_n)$
Come P ma inverte solo la parte temporale.
Operatore che trasforma lo stato di particella in quello della rispettiva antiparticella, lasciando invariate le variabili spaziotemporali. Cioè inverte tutte le cariche della particella. $\hat{C}$ è hermitiano e i suoi autovalori sono $\pm 1$, il numero quantico è moltiplicativo e conservato in interazioni forti e em.
Quasi nessuna particelle è autostato di $\hat{C}$: non si ha $\hat{C} \ket{\pi^+} = \pm \ket{\pi^-}$ non so perché. Solo particelle che sono le loro stesse particelle sono autostati di $\hat{C}$, come $\pi^0, \; \eta$ (+1), $\rho^0, \omega$. NB come vedremo NESSUN K è autostato di C, avendo $S\neq0$. Z non ha C definita, come P, dato che l'interazione EW non conserva neanche C. Per i mesoni autostati di C, $\hat{C}\neq \hat{P}\hat{S}$ cioè spin swap a cui segue parità.
Solo stati con tutte le criche nulle sono autostati di C, quindi una generalizzazioen utile è la G-parità $\hat{G} = \hat{C}\hat{R}_2$, con $\hat{R}_2 = e^{-\frac{1}{2}\pi\sigma_2}$ una rotazione nello spazio di isospin. Si ha quindi eg $\hat{G} = \hat{C}\hat{R_2}\ket{\pi^{(\pm,0)}} = \hat{C} (+,-) \ket{\pi^{(\mp,0)}} = (-,-)\ket{\pi^{(\pm, 0)}}$. Quindi i pioni sono tutti autostati di G con autovalore -. G è moltiplictivo ed è conservato dall'interazione forte. Utile perché produce regole di selezione, per esempio un decadimento in un numero pari o dispari di pioni è permesso o vietato TODO non capito.
Consideriamo la risonanza $\Delta^{++}$, con spint 3/2 e parità +1. La sua funzione d'onda dovrebbe essere $\psi = \psi_{spazio}\psi_{flavor}\psi_{spin}$. Dato che è il più leggero stato uuu, possiamo assumere che $\ell = 0$TODO CHE È $\ell$??? e quindi che la funzione d'onda spaziale sia simmetrica. Quindi lo spin complessivo viene dall'allineamento dei singoli spin dei tre quark, e quindi anche le funzioni d'onda di flavor e di spin saranno singolarmente simmetriche mi sono perso il perché TODO. Il problema è che la particella è un fermione e la sua funzione d'onda deve essere antisimmetrica per scambio di due quark. Ma viene prodotta da tre funzioni d'onda simmetriche e quindi sembra essere simmetrica! La soluzione venne postulata nel 1964 suggerendo l'esistenza di un altro numero quantico, il colore:
Quindi alla funzione d'onda di $\Delta^{++}$ dobbiamo aggiungere $\psi_{colore} =$ (permutazioni cicliche - antipermutazioni ciclivhe di rgb). Questa funzione d'onda è ovviamente antisimmetrica per scambio di due quark e così la funz d'onda totale è antisimmetrica.
I quark u d s non sono stati "scoperti", in realtà sono stati scoperti mesoni e barioni e interpretati in temini del loro contenuto di quarks. Al tempo alcuni teorici avevano già ipotizzato l'esistenza di un altro quark. Nel Novembre 1974 venne scoperta, indipendentemente dai gruppi di Richter (SLAC) e Ting (Brookhaven), una nuova risonanza di $m \sim 3.1 GeV$, larghezza molto piccola di 87 keV (dominata dalla risoluzione nella massa combinata di entrambi gli esperimenti): $J/\psi$.
Scoperto all'acceleratore protonico AGS da 30 GeV, mediante le misurazioni della produzione inclusiva di coppie e+e- nell'interazione con i protoni su una placca di berillio: $p + Be \rightarrow e^+e^- + X$ Il rivelatore era disegnato per cercare risonanze con stessi numeri quantici del fotone, con grande massa e che decadessero in coppie e+e-. Il tutto puntando a minimizzare lo scattering multiplo, ottenendo una risoluzione sulla massa invariante TODO definizione? come si fa la distr di rate eventi in funz di minv? $\Delta m(e^+e^-) \sim 20 MeV$. L'alta risoluzione permise maggiore sensibilità dell'esperimento precedente, che vide solo una spalla tra 3 e 4 GeV della distribuzione della minv. Per l'esperimento usarono uno spettrometro a due braccia, per misurare separatametne e+ e e-. Le braccia erano composte da dipoli magnetici, contatori Čerenkov, camere proporzionali a multifilo e alla fine da un calorimetro em (shower counter). Il processo elementare studiato era il Drell-Yan: collisioni adroniche che risultano in un fotone virtuale TODO non so definire il significato di virtuale che decade in una coppia l+l-. Gli eventi interessanti erano rari, quindi i rivelatori avevano un alta reiezione ($\sim 10^8$) per scartare adroni che fakassero leptoni. Differenze tra gli stati finali e+e- e μ+μ-:
μ+μ- pro: il potere penetrante permette di selezionarli dagli adroni semplicemente usando un assorbitore abbastanza spesso, in un largo angolo solido ottenendo alta accettanza e tasso di conteggio; contro: lo scattering multiplo causato dall'assorbitore genera altre coppie di leptoni che danno bg.
e+e- pro: l'idenfiticazione degli elettroni è possibile facilmente con un contatore di luce Čerenkov e calorimetri; contro: la piccola copertura in angolo solido degli strimenti e quindi il rate basso.
Visto all'esperimenti Mark I, a SPEAR, collider e+e- da $\sqrt{s} = 2.5-7.5 GeV$. Il detector è fatto da una serie di strati concentrici, partendo dal tubo del fascio: camere a scintille (sorta di scintillatori a gas dove il gas ionizzato emette luce a causa di una forte ddp), poi contatori di tempo di volo per misure di velocità, un solenoide che produce un campo da 4.5mila G, un calorimetro EM, camere proporzioanli alternate da lastre di ferro per identificazione dei mu. Nel 1974 alle energie disponibili si era arrivati a un R(e+e- in adro / e+e- in muoni) $\approx 2$ (zona uds), mentre alcune misure al CEA di Harvard aveva dato R circa 6 nel range di energie di SPEAR a causa di un mix tra continuum e risonanze con poca risoluzione e ADONE non venne spinto a quelle energie per indagare di più. A SPEAR invece indagarono con step di 200 MeV, e le sezioni d'urto misurate sembravano andare in maniera costante invece che come 1/s come ci si aspettava. Poi ridussero gli step da 200 a 2.5 MeV e videro chiaramente la risonanza, cone una larghezza compatibile con la dispersione del fascio, cioè praticamente una delta di Dirac, con una larghezza intrinseca quasi nulla e una larghezza misurata dovuta quasi solamente a effetti "strumentali"
La risonanza $J/\Psi$ è uno stato legato part-antipart di un nuovo quark e il suo antiquark: charm c. La sezione d'urto d'interesse è quella di rivelazione, cioè una, dalla collisione di due particelle di spin $S_{1,2}$, una risonanza qqbar di spin J che decade in fermione-antifermione, è una curva Breit-Wigner (Lorentziana) con una parte che dipende da $S_1, S_2, J$ e una parte dalle larghezze $\Gamma_e,\Gamma_f$ (cioè stato iniziale e finale), $\Gamma_{tot} = \Gamma_e + \Gamma_{had = q\bar{q} state}$ e dalla differenza tra $m_{q\bar{q}}$ e $\sqrt{s}$
TODO ancora non ho capito come si misura la larghezza (in particolare quella totale), e se larghezza stati iniziale e finale sono entrambi misurabili (e allo stesso modo) Con molte misure di decadimenti di JPsi misurate negli anni, i valori aggiornati della particella sono $m \sim 3100 MeV$ e $\Gamma \sim 90 keV$.
RIPASSARE COME E PERCHÉ È STATO INTRODOTTO QUARK STRANGE, IL QUARK CHARM PER IL MECCANISMO GIM, MA PERCHÉ JPSI È STATO SUBITO IDENTIFICATO COME STATO DEL NUOVO CHARM Q E NON COME QUALCOSALTRO? PER PREVISIONI TEORICHE DI SUA LARGHEZZA?
Dopo la scoperta del jpsi, a SPEAR fecero uno scan energetico sistematico a steps molto piccoli. Dopo pochi giorni venne trovata un'altra risonanza sottile $\Psi'$ con stessi numeri quantici di jpsi ($J^P = 1^-$, $I = 0$). Dall'analisi si è determinato che jpsi è lo stato 1s di ccbar, mentre psi' lo stato 2s. Ne sono stati scoperti poi molti altri. Il tutto è in buon accordo con la soluzione dell'equazione di Schrodinger di un ipotetico potenziale efficace QCD $V(r)=-4\alpha_s/3r + kr = A/r +Br$. Approssimazione che dovrebbe migliorare quando l'approssimazione non relativistica diventa migliore, cioè per quark più massicci. (TODO poteniale analogo a qed?)
Il c era già stato proposto con il meccanismo GIM per spiegare l'assenza di flavor changing neutral currents, FCNC). Il processo di corrente neutrale tra quark di diverso flavor è soppresso, per esempio K0Long in mu+mu- rispetto a K+- in mu+- nu ( TODO NON CAPISCO CHE C'ENTRANO QUI I LEPTONI CON IL FLAVOUR CHANGE, V CP violation!). Per spiegare ciò venne ipotizzato un meccanismo che prevedeva:
A SPEAR misurando le sezioni d'urto adronica, muonica e elettronica risolvevano le 4 equazioni $\{\sigma_j(\Gamma_j), \Gamma_{tot}\}$, nello specifico ottenendo $\Gamma_{tot}$ molto piccola (non si misuravano direttamente le larghezze ma si ricavavano dalle sezioni d'urto misurate di e+e- in qqbar state decay in adros/mu+mu-/e+e-).
Osservando un ugual numero di decadimenti in $\rho^0+\pi^0$ e $\rho^\mp \pi^\+-$ risulta che $J/\Psi$ ha isospin I = 0 TODO PERCHÉ?
La risonanza è asimmetrica: la coda a destra è più alta. Ciò implica una interferenza tra la formazione del jpsi e il solito scambio di un fotone virtuale nel canale s. Questo implica che jpsi e fotone devono avere stesso $J^P = 1^-$ TODO PERCHÉ? NON HO CAPITO STA CLASSIFICAZIONE CON $J^{PC}$
Il jpsi decade in un numero di pioni DISPARI, non pari. Questo ha due importanti conseguenze: che la Gparità -1 dello stato iniziale perché TODO è conservata nel decadimentoperché TODO. Questo significa che jpsi non decade debolmente. NB: tutte le risonanze non decadono debolmente! Pertanto il flavor è sempre conservato!
Infatti se chiamiamo Q un quark pesante (scb) e q uno leggero (ud), gli stati $Q\bar{Q}$ (come $\phi = s\bar{s}, J/\Psi = c\bar{c}, \Upsilon = b\bar{b}$) decadono preferenzialmente in stati legati di Q con quark leggeri: $(Q\bar{Q}) \rightarrow (Q\bar{q})(\bar{Q}q)$, eg $\phi \rightarrow KK \Leftarrow (s\bar{s}) \rightarrow (\bar{d}s)(d\bar{s})$. MA nel caso del jpsi è diverso! Attenzione alle masse! jpsi in D+D- o $D^0\bar{D}^0$ (cioè ccbar in d/ubarc+d(ucbar) è vietato dato che la massa di jpsi è minore di $2m_D$. Oltre al D può decadere solo in pioni. Ora, mentre nel caso del phi in due kaoni si poteva avere un decadimento in due mesoni, con uno scambio di un gluone e i due quark strange "sopravvivevano", in questo caso c e cbar si annichilano, quindi: scambio di un solo gluone è vietato dal colore NON HO CAPITO BENE TODO, scambio di due gluoni è vietato da conservazione di C dell'interazione forte ($C(2g)=+1, C(J/\Psi)=C(\gamma)=-1$ PERCHÉ C DI JPSI E FOTONE È -1? E QUELLO DI 2g è +1 PERCHÈ ESSENDO MOLTIPLICATIVO È -1x-1?), lo scambio di 3 gluoni è invece permesso: la larghezza di decadimento di QQbar in pioni con scambio di 3 gluoni sarà proporzionale quindi a $\alpha^3_s$ (oltre che inv propr a $m_{(Q\bar{Q})^2}$.
Ed è proprio il valore di alpha-strong al cubo, funzione di $m_{risonanza}^2$ che rende la larghezza così piccola: $$ \alpha_s^3(m^2_{\phi} )\approx 0.5^3 = 0.125;\\ \alpha_s^3(m^2_{J/\Psi} ) \approx 0.3 ^3 = 0.027;\\ \alpha_s^3(m^2_{\Upsilon} ) \approx 0.2^3 = 0.008$$
La regola OZI Regola empirica qualitativa fatta comparando decadimenti di phi in 3 pioni, in KK, e mesone omega in 3 pioni. Nel decadimento di stati legati di quark pesanti Q, lo stato finale senza Q (con diagrammi "disconnessi") hanno un'ampiezza soprressa. Se questi sono gli unici decadimenti cinematicamente permessi, come per jpsi e Y, la larghezza totale è piccola e lo stato legato è "sottile" (al tempo i gluoni non erano usati, almeno non largamente)
Mentre jpsi è lo stato legato ccbar, devono esistere mesoni cqbar cbarq con massa uguale a m(jpsi) + 100-200 MeV più perché proprio 100 o 200 e non 10 o 20? e sopratutto, perché massa in più e non in meno se i q hanno molta meno massa? questo vale anche per il b! per il mare? TODO
Vennero scoperti quindi mesoni charmati pseudoscalari, analoghi di pi e K, cercando a $\sqrt{s} \sim 4 GeV$ nei canali e+e- in $D^0\bar{D}^0X^0$ e $D^+D^-X^0$. Ci si aspetta che abbiano piccola vita media quindi con un decadimento situato in posizione indistinguibile dal vertice primario. Quindi la strategia di selezione fu la presenza di molti eventi sottoforma di picchi sottili nella massa combinata (TODO MASSA COMBINATA CIOÈ COMPLESSIVA? COMPRESA ENERGIA DEI NEUTRINI?) dei prodotti di decadimento. Venne visto un primo bump a 1865 MeV, con larghezza di circa la risoluzione dello strumento, nella massa combinata $K^\pm\pi^\mp$, corrispondente a decadimenti di mesoni/antimesoni $D^0$. 10 MeV venne visto un bump anche nella massa $K^\mp\pi^\pm\pi^\pm$, corrispondente a decadimento di $D^\pm$. Come previsto dal GIM, non venne trovato alcun bump nella massa $K^\pm\pi^+\pi^-$, il quale è vietato. Usando la terminologia della matrice di Cabibbo, accoppiamenti c-s e u-d vanno come $cos\theta_c$ e sono permessi, c-d e u-s vanno come $sin\theta_c$ e sono soppressi. Quindi c che va in s dbar u $\propto cos^2\theta_c$ è permesso, che va in s/d sbar/dbar u $\propto sin\theta_c cos\theta_c / cos\theta_c sin\theta_c$ sono soppressi, in d u sbar $\propto sin^2\theta_c$ doppiamente soppresso. TODO rivedere matrice e angolo di cabibbo e matrice ckm
Con 4 quark si potrebbe estendere il formalismo da SU(3) a SU(4), portando i multipletti a essere 3d. Ma la massa del c è molto più grande di s, e quindi la simmetria è molto più rotta.
Perché si hanno famiglie consecutive di quark che variano solo in massa? Perché si mixano tra loro? Non si sa perché il numero di famiglie è un parametro libero del SM (anche se indizi portano ormai a pensare che non ce ne siano altre TODO QUALI ERANO? RISULTATI LEP?). In ogni caso le famiglie devono essere complete: l'esistenza di un membro implica quella di tutti gli altri, in totale 2 quark, 1 leptone e 1 neutrino per famiglia, in modo che $\Sum Q = 0$, somma su tutti i fermioni e colori: -1 per i leptoni + 0 per i neutrini + (2/3-1/3)x3 colori per i quarks. Constraints provengono da:
Scoperto sempre al Mark 1. La selezione degli eventi fu basata sulle coppie sbilanciate $e^\pm \mu^\mp$ TODO perché sbilanciato? per diversità di massa? perché mumu e ee non sono stati usati?. L'evento è del tipo: e+e- in tau+tau-, un tau decade in un mu di stessa carica e un neutrino mu coniugato, più un neutrino tau corrispondente, idem per l'altro con l'elettrone. Ciò che si ottiene di misurabile quindi sono un mu e un e sbilanciati, con quasi nessun bg. Gli eventi con coppie e+e- e mu+m-, che devono essere presenti con un branch ratio uguale agli altri sono usati solo per fare crosscheck sul campione di dati "unbalanced".
L'analisi si basa quindi solo sullo studio del rate di coppia e+mu come funzione di $\sqrt{s}$. Tenendo conto che il processo è possibile solo se $\sqrt{s}>2m_\tau$, la massa del tau estrapolata fu $\sim 1780 MeV$.
Il fatto che sia un leptone al tempo era l'unica spiegazione plausibile, ora l'evidenza solida che lo sia viene dai decadimenti di Z e W in e, mu e tau con lo stesso rate, stessa distribuzione angolare e ha vita media in accordo con predizioni.
La scoperta del tau in ogni caso iniziò la ricerca della restante terza famiglia: il neutrino e la coppia di quark uno downtype e uno uptype: b e t
Scoperto da Lederman et al a Fermilab, con uno spettrometro a due braccia, disegnato per studiare coppie mu+mu- prodotte da interazioni di protoni a 400 Gev su un target di rame o platino. Il processo è sempre il DrellYan, come già visto è raro (Perché? quanto? TODO), quindi serve un fascio intenso, $10^11$ protoni per ciclo, e un forte potere di reiezione verso adroni carichi. I rami sono composti da rivelatori EM con assorbitori. Il prezzo per la tecnica con assorbitori è una perdita nella risoluzione sul momento del muone, accurata al $\Delta_{\mu\mu}/m_\mu\mu =$ 2%. La distribuzione di $m_{\mu\mu}$ tra 9 e 10 GeV mostra un eccesso sul continuum. Andandolo a sottrarre si vede la sovrapposizione di tre stati legati bbbar: $\upsilon(1s), \upsilon(2s), \upsilon(3s)$. Dopo un paio di anni vennero misurati anche open bottom, cioè stati legati bqbar e bbarq. Lo studio del bottomonio è molto importante, per esempio perché dai sistemi $B^0\bar{B}^0$ si ha violazione CP similmente ai K ma in maniera diversa rispetto ai mesoni charmosi. perché open states hanno più/meno massa? perché vengono scoperti prima xonium e poi openx? TODO
Cercato in vari adron e lepton colliders. Scoperto nel 1994 a CDF. Ai tempi i limiti di massa erano m_t>90GeV (immagino sperimentali da misura di Z), ma comunque la massa venne calcolata prima dalle correzioni radiative per le masse di W e Z a LEP, che portarono assieme a altre misure ew a una predizione di mtop 175 GeV.
Da Tevatron a LHC, per l'aumento di energia ma sopratutto per il cambiamento dello stato iniziale da valenza a mare, il canale qqbar passa da 90% a 5% di ratio, mentre la sezione d'urto totale passa da 5 a 600pb (sopratutto quindi per i gluoni).
Il top decade in W e un quark downtipe con accoppiamento propto il termine rispettivo della CKM. La larghezza di un decadimento elettrodebole è $\Gamma \approx G_F m_t^3/8\pi\sqrt{2}\sim 2 GeV \Rightarrow \tau_t \sim 4 \cdot 10^{-25} s$, quindi il top decade prima che qualsiasi processo di adronizzazione possa verificarsi.
Cioè vedere se il nucleo è una particella puntiforme e se non lo è sondare la sua forma. Lo fece per primo Rutherford, prendendo una sonda puntiforme come l'e-, osservando lo scattering su N, misurando sezione d'urto, distribuzione angolare e se esistono rivelare stati eccitati o altre particelle prodotte nella collisione (cioè studiare interazione inelastica). Si fa in fasi:
Si ottiene che l'energia dello stato finale, per conservazione del quadrimomento è funzione solo dell'angolo di scattering. La reazione è planare TODO perché?. Mentre lo stato finale è definito da 6 variabili , ci sono 3 equazioni di conservazione (una per E, e due per $\vec{p}$, $p_{||}$ e $p_T$) e 2 relazioni sui quadrati per lo stato finale (l'energia relativistica $E^2 = m^2 + \vec{p}^2$). Quindi ci sono 6-5=1 variabile indipendente: E', o equivalentemente $\theta$
Elastico significa stati iniziali e finali con uguali particelle. Per energia iniziale E (dell'elettrone) e target omogeneo con massa fissata, lo stato finale è definito da una sola variabile indipendente $E_e'$ o $\theta$.
La dinamica dello scattering è descritta di solito con la formula di Rutherford in termini del momento trasferito $\vec{q} = \vec{p} - \vec{p}'$, ma in MQR la sezione d'urto di scattering elastica va descritta dalla forula di Mott. Similmente a quella di Rutherford, la sezione d'urto di Mott non considera né la dimensione del nucleo (cioè la possibilità di andare in uno stato eccitato), né il suo recoil dallo stato eccitato. Di diverso ha il fatto che considera lo spin dell'elettrone e compare un termine funzione di $\theta$, dovuto al fatto che l'elettrone incidente è in approssimazione ultrarelativistica $\beta \rightarrow 1$ e la sua elicità deve essere conservata nell'interazione. Se prendiamo il caso di $\theta \sim 180$ la conservazione richiede lo spin flip dell'elettrone, ma così la conservazione del momento angolare sarebbe violata (nell'ipotesi fatta che il nucleo non assorbe la variazione di spin perché è spinless) e quindi è vietato. Il termine in $cos^2\theta/2$ tiene conto quindi dello spin nella parte magnetica dell'interazione (ricorda che in eq di diraq ci sono le u e v degli spinori).
In generale mom mag $\mu = g e S/ 2m_e$
Nello studio di $e^-$ su $^12C$, nel plot di numero di eventi in funzione di $\vec{p'_e}$ per E fissata, a $\theta$ fissato c'è il valore atteso elastico a $p'_e = 482 MeV$, ma c'è anche una struttura ricca di picchi dovuti allo scattering inelastico, quando il nucleo dello stato finale è eccitato: $e+^12C \rightarrow e'+^12C*$, con $C*$ stato eccitato con energia $> M/c^2$ TODO prof dice "massa" $> M*$ ma non capisco
La sezion d'urto di Mott è in accordo con gli esperimenti solo per bassi momenti trasferiti $\vec{q}$. Per alti valori di q la sezione d'urto misurata è più bassa di quella di Mott. La ragione sta nella dimensione finita (cioè non infinitesima) che risulta in una carica effettiva vista dal proiettile più piccola. La formalizzazione di ciò passa per la definizione dei fattori di forma, che sono definiti mediante la decomposozione dell'ampiezza di transizione tra stato iniziale e finale secondo un certo operatore. Una definizione più classica è la trasformata di Fourier $F(\vec{q})$ della distribuzione di carica $\rho(\vec{x})$, prodotto della funzione di densità di probabilità $f(\vec{x})$ appropriata per $Ze$
NB se $f(\vec{x}) = \delta(\vec{x}) \Rightarrow F(\vec{q}) = 1$
Se siamo in simmetria sferica allora $\rho(\vec{x})$ dipende solo dal modulo di $\vec{x}$, F dipende solo dal modulo di $q$, o meglio da $\vec{q}^2$ e la sezione d'urto sperimentale è semplicemente quella di Mott modulata dal modulo quadro del fattore di forma (che ricordiamo è un'ampiezza di prob).
Sia formula di Mott che di Rutherford sono indipendenti dalla scala, ma se $\rho$ contiene qualche dipendenza da qualche lunghezza, come per esempio il raggio della sfera nucleonica, i fattori di forma rompono l'invarianza di scala della dinamica TODO NON CAPITO!
In linea di principio, essendo F misurabile, si può ottenre $\rho$ facendo l'antitrasformata di F, ma in realtà il range di q accessibili dagli esperimenti è limitato e quindi non si può avere una misura di tutta la curva di $F(q^2)$, in particolare F per alti valori di q deve esere estrapolato. Alcuni esempi di $f \leftrightarrow F$:
Considerando una sfera omogenea con carica unitaria, sostituendo $\rho =3/4\pi R^3 = cost$ per r < R e 0 altrove nella formula generale di $F(q^2)$ si ottiene una forma del tipo $\propto \left(sin\left(x\right)-x\cdot cos\left(x\right)\right)\cdot \left(\frac{1}{x^3}\right)$, con $x = qR/\hbar$ cioè un oscillatore smorzato all'aumentare di q, con il primo minimo a $qR/\hbar\approx 4.5$, compatibile con un nucleo di $^{12}C$ di $R \approx 2.5 fm$.
Per $q\rightarrow 0$ F si riduce a $1-q^2 <r^2>/6\hbar$, dove il parametro $<r^2> = 4\pi \int_0^\infty f(r)r^2dr = -6\hbar^2 dF(q^2 = 0)/dq^2$, cioè propto la tangente in 0 del fattore di forma, contiene l'informazione della distribuzione di carica. Nel caso della sfera omogenea $<r^2> = 3/5 \cdot R^2$.
L'importanza di questo limite sta nel fatto che il target a momento trasferito nullo si comporta come una carica coerente uniforme di raggio $\sqrt{<r^2>}$. Il momento trasferito q quindi è approssimativamente la variabile coniugata del parametro di impatto del proiettile rispetto la target, pertanto a alti b = piccoli q il berasglio si comporta coerentemente, mentre gli alti q ne sondano la struttura a bassi b, cioè piccole distanze. Per questo motivo "nuova fisica", cioè una sottostruttura del nucleo (e poi del protone) che emerge piccole distanze richiede un alto q, che è possibile solo se si dispone di un proiettile con alta energia.
I nuclei non sono sfere omogenee con confine netto, ma sono più simili a sfere con uno strato esterno morbido. La distribuzione di carica è ben parametrizzata dalla funzione di Woods-Saxon $\rho(r) = \rho_0/(1+e^{\frac{r-c}{a}})$, con, per nuclei pesanti cioè largo A $c\approx 1 fm \cdot A^{\frac{1}{3}}$ e $a\approx 0.5$. I nuclei leggeri hanno una distribuzione di carica più simile a una gaussiana e hanno una simmetria sferica (i lantanidi più simile a ellissoidi).
Studiamo ora la struttura di un nucleo di carica Ze, guardando in dettaglio la densità nucleare. Assumiamo che la distribuzione dei Z protoni e (A-Z) neutroni sia omogenea e uguale, allora possiamo scrivere $\rho_Q = \rho_p = \rho_n$; allora $\rho_N = \rho_p+\rho_n = \rho_p + (A-Z)\rho_p/Z = A/Z \cdot \rho_q$. Quindi se A è il numero totale di nucleoni, sarà uguale all'integrale sul volume del nucleo sferico della densità di nucleoni $\rho_0$ e quindi ipotizzandola uniforme, $A = \rho_0 \cdot V_{sfera} = \rho_0 (\frac{4}{3}\pi R^3)$. Assumendo $\rho_0 =0.17$ nucleoni su femtometro cubo allora $R = R_0 A^{1/3} = 1.21 fm A^{1/3}$, in accordo con gli esperimenti che danno circa 1.23.
Tuttavia dai dati di Mark3 al LINAC di stanford la distribuzione di eventi di scattering in funzione del coseno dell'angolo di scattering mostra un netto scarto rispetto alle distribuzioni attese sia con la sez urto di Rutherford che di Mott. Sondare spazi più piccoli richiede energie più larghe, sia nello stato iniziale che finale. Per esempio LHC che va ai TeV esplora $\sim 10^{-8} fm$. A queste energie è necessario porre delle correzioni alla sezione d'urto di Mott:
Per l'equazione di Dirac, particelle puntiformi cariche con spin 1/2 hanno un momento magnetico intrinseco $\mu = g/2\cdot e\hbar/2m$, con g il rapporto giromagnetico che dalle misure risulta essere 2
il mom mag di un elettrone è $\sim 6 \cdot 10^{-5} eV/T$
Questo porta a una variazione alla sezione d'urto di $\sim Q^2 tan^2 (\theta/2)$, diventando quindi rilevante per alti $Q^2, \;\theta$
Per particelle neutre invece il momento magnetico è nullo, anche se fermioni, quindi senza questo ulteriore fattore.
Guardando il nucleo, il magnetismo è una combinazione dei momenti magnetici intrinseci dei nucleoni e del loro moto orbitale (entro il nucleo).
Tutti i nuclei on Z e A-Z pari hanno il momento magnetico complessivo nullo
Se definiziamo il momento magnetico di un nucleone N $\mu_N = e\hbar/4m_N \approx 3 \cdot 10^{-14} MeV/T$, se p e n fossero particelle di Dirac ideali dovrebbero avere $\mu_p = 2\mu_N$ e $\mu_n = 0 \Rightarrow g_p/2 = \mu_p / \mu_N = 1$ e $g_n/2 = 0$. Ma invece gli esperimenti hanno trovato $g_p/2 \sim 2.8$ e $g_n/2 = 1.9$! Quindi ci sono altri effetti che contribuiscono al momento magnetico, cioè p e n non sono particelle ideali di Dirac, nello specifico non sono puntiformi e i g anomali sono dovuti alla complicata struttura interna, in analogia con il naso nucleare.
Consideriamo lo scattering di un leptone su nucleo $l N \rightarrow l' X$ ($X\neq N$ in scattering inelastico). Essendo la massa del nucleo molto maggiore di quella dell'elettrone, i quadrimomenti di leptone e nucleo nel sistema di riferimento del laboratorio coincidono con quelli del centro di massa, supponendo l'elettrone in approssimazione ultrarelativistica e il nucleo con massa infinita. Se consideriamo lo scattering di un eletrone di massa m su un protone avremo così nello stato iniziale un elettrone un protone che andranno a interagire QED, cioè con scambio di fotone virtuale, e nello stato finale un elettrone (in generale con quadrimomento diverso in ogni componente) e invece del protone si avrà un insieme di "frammenti" il cui quadrimomento complessivo è la somma di tutti i singoli.
Definiamo così delle variabili lorentz invarianti:
Queste grandezze nel caso elastico hanno
Nel caso inelastico invece $W^2$ non è una costante, dipende da fenomeno a fenomeno e quindi $\nu$ e $Q^2$ sono indipendenti, quindi si hanno due variabili in questo caso, che possono essere $(E', \theta)/(Q^2, \nu)/(x,y)$
Il contributo principale ai calcoli del processo di scattering è lo scambio del singolo fotone. Il vertice a 3 $e\gamma e$ è semplice e ben noto, particelle puntiformi in QED, mentre quello $p\gamma p$ è complicato a causa della struttura interna del protone. L'approccio per studiare la struttura del protone è stata partire da un processo più semplice, come lo scattering elettrone-muone e poi modificare i risulatati tentando di inserire parametri che modellassero la struttura del protone (tenendo conto dello spin e del momento magnetico sia di e che di p). La sezione d'urto di Rosenbluth è definita come funzione in generale di due fattori di forma (nb ancora di non struttura) G_E per la parte elettrica e G_M per quella magnetica.
Abbiamo visto dallo studio dei momenti magnetici che a $Q^2= 0$ $G^{p\vee n}_E = 1\vee 0$ e $G^{p\vee n}_M\sim 2.8\vee -1.9$
Studiato nel 1956 mediante lo scattering elastico ep in ep, misurando eventi in funzione di $\theta$ tra 35° e 138° e quindi $Q^2$ usando le relazioni TODO importanti $$E' = \frac{E}{1+\frac{E}{M}(1-cos\theta)}$$ $$Q^2 = 2EE'(1-cos\theta)$$
V fig pag 29 cap 2:
In quell'esperimento venne misurato $<r_p> \sim 0.75 fm, \; <r_\alpha> \sim 1.6 fm$
Pertanto bisogna rivedere bene i fattori di forma del protone. Sperimentalmente, i fattori di forma elettrici e magnetici tendono a uan funzione comune di $Q^2$ con una forma dipolare, a meno di una costante moltiplicativa: $G_{E\vee M}^{p\vee n}(Q^2)\propto G_{dipolo} (Q^2) = (1+Q^2/cost^2)^{-2}$, con $cost^2 \sim 0.7 GeV$. Avendo il fattore di forma si può derivare la distribuzione di carica, almeno quando il momento e il quadrimomento coincidono, cioè a basso $Q^2$, quindi si ottiene una $\rho(r)\propto e^{-cost r}$, con qui $cost \sim 4.3 fm^{-1}$. Cioè a questo punto dello studio, ancora a basso $Q^2$ si ha come accadeva per i nuclei, che i nucleoni non sono particelle puntiformi, ma neanche sfere omogenee, piuttosto sono come sistemi diffusi non omogenei (ipotizzando comunque sempre simmetria sferica), TODO perché questa forma si dice dipolare?. Estrapolando il valore di $G(Q^2 = 0)$ si ottiene $<r^2> = -6\hbar^2 dG(q^2 = 0)/dq^2 = 0.66 fm^2 \Rightarrow \sqrt{<r^2>} \sim 0.8 fm$
Ma questo è solo il limite a basso $Q^2$, dove la sezione d'urto di Rosenbluth tende a quella di Mott TODO VEDI E SCRIVI FORMULA A P 32 CAP 2. I fattori di forma dei nucleoni, nella sez urto di Rosenbluth in realtà mostrano tre diversi intervalli:
NB: se i protoni fossero puntiformi avremmo invece $G_E = G_M/2.8 = 1$ a qualsiasi $Q^2$
Il momento dei nucleoni in un nucleo è modellizzato come un gas di fermi. Essendo p e n dei fermioni 1/2, per ogni p o n ha due stati di spin (up/down). Se consideriamo il nucleo come un potenziale a buca quadrata, per il principio di indeterminazione ogni particella occupa un volume dello spazio delle fasi pari a $(2\pi\hbar)^3$. Il numero di nucleoni di un certo tipo sarà il prodotto tra V spaziale, V nello spazio dei momenti, su V dello spazio delle fasi , il tutto moltiplicato per la degenarazione di spin. Se poniamo che Z = N = A/2 $A/2 =2 V(R_0)_{sfera}A \cdot V(p_F)_{sfera}/ (s\pi\hbar)^3 = 2\cdot 2 A R_0^3 p_F^3 / 6 \pi \hbar^3 \Rightarrow A = 8 R_0^3 p_F^3 / 6 \pi \hbar^3 \Rightarrow p_F\approx 250 MeV$ e $E_F = p_F^2/2M\approx 33 MeV$ e si ha che $p_F $e $E_F$ non dipendono da A (si semplifica), che nel nucleo si hanno grandi $p_F$ e piccole $E_F$ energie cinetiche. In realtà approssimazioni migliori richierebbero un potenziale diverso per protoni e neutroni che porterebbe a avere $p_F$ diverse.
Abbiamo quindi visto delle analogie tra i nucleoni e i nuclei (NB: a $Q^2$ NON nella stessa scala! Il basso Q^2 per i protoni è comunque molto alto rispetto al nucleo). Ci sono però delle differenze:
A questo livello è ancora non chiaro se i nucleoni hanno sottostrutture: lo scattering elastico, descritto da Rosenbluth non è sufficiente. Bisogna andare a alti $Q^2$ aspettandosi una più grande varietà di fenomeni, cioè oltre allo scattering elastico:
Guardando alcuni esempi (MAMI a Mainz, Hofstader a Stanfor):
Le conclusioni di queste indagini sono che tutto corrisponde per dati elastici e quasi-elastici, a $Q^2$ si vede un comportamento anelastico MA non c'è nessuna prova di sottostrutture entro il protone: è ancora troppo piccolo (unica altra spiegazione è assenza di sottostrutture che ora sappiamo non essere così).
Per i grafici della sez urto differenziale a $Q^2$ fissata, è comodo usare la variabile adimensionale $x_{bjorken}$. Guardando grafici a diversa $Q^2$ si notano delle differenze: a basso $Q^2$ ci sono scattering elastici con nucleo (picco) e nucleoni (bump largo a causa di moto Fermi); aumentanto $Q^2$ lo scattering con il nucleo scompare mentra quello con i nucleoni rimane costante; aumentando ancora compaiono gli scattering con stati eccitati di nucleoni (cioè inelastico), lo scattering elastico diventa da bump a picco più stretto TODO NON SO PERCHÉ, ma sopratutto compare un bump di scattering con componenti del protone; a $Q^2$ molto alto gli unici processi significativi coinvolgono le componenti del nucleone (scattering elastico e compagni inelastici)
Se prendiamo un esperimento con energia iniziale dell'eletrone molto più alta, $\sim 5 GeV$ (DESY, più alta di SLAC) si vedono, oltre al picco elastico ($\theta = 10°$): la prima risonanza barionica $\Delta$ e poi altre, e poi una nuova regione a basse E', cioè alta energia trasferita e alta massa complessiva degli adroni finali. Ciò implica una ricca produzione di adroni ma nessuna particella oltre p, n e pioni, cioè i nucleoni si rompono, ma al contrario di quanto accade con il nucleo non appaiono nuovi costituenti: i costituenti non si mostrano come particelle libere a causa del confinamento.
Consideriamo un grafico $Q^2$ vs (2M)$\nu$ (M massa del protone e $\nu$ energia persa da elettrone di stato iniziale a favore di adroni di stato finale mediante il fotone). Entrambi sono lorentz invarianti ma di solito sono studiati nel sistema di laboratorio, comodo perché l'adrone dello stato iniziale è a riposo. Per lo scattering inelastico:
Per comodità invece di $\nu$ possiamo usare $y = \nu/E$, che non è altro che $\nu$ normalizzata in [0,1]
Si individua così un triangolo. Sulla retta x= 1 può cambiare solo l'angolo e se $\theta = 0 \Rightarrow Q^2 = \nu = 0$; le rette $W^2 = cost$ (cioè x=0,...) sono linee parallele a $x=1$ e alcune di esse definiscono stati eccitati-risonanze. A alte distanze dalla retta $x = 1$, cioè x piccoli, alte energie trasferite, cioè $W^2$ sensibilmente maggiori di $M^2$ si ha il deep inelastic scattering (DIS) e possibilmente nuova fisica
**MA COME! NUOVA FISCA A BASSO MOMENTO TRASFERITO?!?! MA A ALTA ENERGIA TRASFERITA! QUINDI POCA E'!! MA GLI ANGOLI DEVONO ESSERE ALTI NO!?!? CI DEVE ESSERE ALTO pT NO!!?! NON CI CAPISCO NULLA. Probabilmente proprio il motivo per cui serve molta più energia dello stato iniziale, è perché l'energia E' deve essere bassa per avere nu alti, ciò porta a alti theta?**
TODO da scrivere La sezione d'urto nel caso del DIS usa le cosiddette funzioni di struttura W1 e W2, che riflettono la struttura delle particelle (nucleoni in questo caso ma la formula è generale). La formula contiene molta poca informazione fino a quando le W non vengono esplicitate con misure o calcoli teoretici. La reale dinamica dello scattering è infatti riflessa nel valore delle W che sono i veri contenitori di informazione per il fenomeno.
La dipendenza delle W, e quindi della sez urto è definita in termini di angolo $\Omega \Rightarrow \theta$ ($\phi$ ininfluente per simmetria), ma altre scelte sono possibili e equivalenti: $(Q^2, \nu),\;(x,y)$
Acceleratore lineare da 3 km e massima $E=25 GeV$, anni 60-70. Spettrometro con due bracci rotanti, uno più lungo di 30m per 20 GeV e uno più corto di circa 10 e con detector rialzato TODO PERCHÉ SI USAVANO QUESTI DETECTOR RIALZATI? per 8 GeV, più un modulo sempre rotante per 1.6 GeV vicino alla zona di interazione. Montavano dipoli e quadrupoli nel braccio. I rivelatori avevano in serie contatori cerencov, hodoscopi TODO vedere che sono e poi shower counters per distinguere elettroni da pioni.
Ottenne risultati importanti misurando eventi ep in eX, studiando la (produzione) sez urto differenziale in angolo solido e E' versus la massa totale degli adroni dello stato finale W. Guardando grafici fissando $\theta$ si possono vedere i comportamenti al variare di E (energia iniziale elettrone) e $Q^2$:
Selezionando i soli eventi DIS definiamo il rapporto R =DIS/scattering elastico = $W_2 + 2 W_1 \tan^2 \theta/2$. Plottando R in funzione di $Q^2$ si ha che le funzioni di struttura variano molto poco al variare del momento trasferito (al contrario lo scattering elastico secondo la formula più completa possibile di Rosenbluth, cioè di una particella non puntiforme con spin mostrava un andamento con $R(Q^2)\propto Q^{-8}$) Da ciò si ricava che per il DIS il bersaglio si comporta come una particella puntiforme come nel caso di Rutherford, con un fattore di forma costante (o meglio Rosenbluth, cioè trattazione quantistica alla Mott con correzioni varie e G_E=G_M=1). L'indipendenza da $Q^2$ è quindi un'altra conferma che il DIS "rompe" il protone e lo scattering avviene con uno dei suoi costituenti. I costituenti a loro volta si comportano a questa scala di $Q^2$ quasi del tutto come particelle libere e puntiformi.
Formula importante: lunghezza d'onda relativa a un certo momento trasferito è $\lambda = 2\pi/|q| \approx 2\pi/\nu 4\piMx/Q^2 $
Le due funzioni di struttura nella formula della sezione d'urto vengono ridefinite, da funzioni di $\nu,\;Q^2$ diventano funzioni di $\x,\; Q^2$: $F_{1\vee 2} (x,Q^2)= M\vee \nu \cdot W_{1 \vee 2}(\nu, Q^2)$. Con questa ridefinizione, le due F mostrano nessuna dipendenza da $Q^2$ per un largo intervallo di $Q^2$
Se assumiamo che i nucleoni siano composti da particelle puntiformi con spin 1/2 di massa m, possiamo derivare dalla formula DIS la relazione di Callan Gross, secondo cui, nell'intervallo suddetto, vale che $2xF_1(x) = F_2(x)$, cioè non dipendono da $Q^2$ o $\nu$ e dipendono una dall'altra.
La Callan Gross si ottiene uguagliando la sez urto di particella puntiforme spin 1/2, cioè Rosenbluth con GE=GM=1, con la formula della sez urto di DIS e sfruttando la cinematica dello scattering elastico dei costituenti NB:
- da non confondere la massa del nucleone M, con le (la somma delle) masse m dei costituenti
- da non confondere lo scattering inelastico ep che produce le risonanze barioniche, con lo scattering elastico eq, che ha nello stato finale lo stesso q
- x è definito solo per scattering inelastico, si potrebbe definire un analogo x solo per i costituenti, ma non ha senso perché è sempre 1 NON HO BEN CHIARO, È PERCHÉ I q sono sempre puntiformi, senza struttura interna e non si rompono? TODO momento momento! in pag 50 cap 2 definisce la x usando la massa dei costituenti!! se bjo scaling è intervallo in cui si ha scattering elastico con i partoni singolarmente, perché si usa la x con la massa dei partoni?
- si ha che x= m/M
TODO calcoli da scrivere pg 50 cap 2 Assumiamo quindi che i nucleoni siano fatti di costituenti puntiformi di massa m e spin 1/2, che diffondono elasticamente nel processo ep. Allora la sezione d'urto DIS si riduce a una somma incoerrente di sezioni d'urto di singole costituenti, che singolarmente scatterano solo elasticamente (delta di Dirac nella formula), cioè si ha scattering solo quando $2 m\nu = Q^2 \Rightarrow x = 0$. Con la presenta di queste delta quindi le W e quindi le F non dipendono separatamente da momento e energia trasferita, ma solo dal loro rapporto cioè solo da x. Questo meccanismo è detto saling, cioè l'effetto della dominanza di fermioni puntiformi nel nucleo, i partoni.
I nucleoni sono fatti di costituenti chiamati partoni, puntiformi spin 1/2. Essi trasportano singolarmente una frazione del momento totale del nucleone $x_{Feynmann} = \left|\vec{p}_{partone}\right|/\left|\vec{p}_{nucleone}\right|$ L'interazione e-partone è così veloce che questi si comportano come particelle libere, mentre i partoni che non interagiscono (almeno in prima approssimazione) non prendono parte all'interazione e vengono detti spettatori. Nell'ambito del DIS, il processo di scattering è una somma incoerente di processi sui partoni e il nucleone non è altro che un contenitore senza alcun ruolo.
F-x e B-x Fin qui $x = x_{bjorken}$ sempre, in generale $x_{feynman}\neq x_{bjorken}$. L'uguaglianza vale solo nel sistema di riferimento a infinito momento, ed è una analogia ragionevole in approssimazione ultrarelativistica, quando $m<<|\vec{p}|$. Benché abbiano delle analogie, hanno diversa origine dinamica: Feynmann-x è definita nel sistema adronico, cioè una frazione del momento del protone dello stato iniziale, la Bjorken-x invece viene dalla parte del leptone che incide, ma contiene informazione sul momento e energia persa dall'elettrone (nello stato finale) in favore del partone dello stato finale tramite il fotone. L'analogia tra le due x viene se consideriamo l'infinite momentum frame, dove le masse sono nulle, nello stato iniziale il protone ha quadrimomento (P,0,0,P) e il partone l'opportuna frazione (xFP=p,0,0,xFP), nello stato finale il partone ha quadrimomento $p' = p + q$. Facendone il quadrato $p+q = p^2+q^2+ 2 p_\mu q^\mu = p_0^2 -\vec{p}^2 +q^2+ 2 p_\mu q^\mu=q^2+ 2 p_\mu q^\mu$, dove $q^2=-Q^2$ e $p_\mu q^\mu$ sono entrambi scalari di Lorentz, quindi possiamo calcolarli nel sistema di lab che è più semplice. Nel sistema di laboratorio invece abbiamo nello stato iniziale il protone con quadrimomento (M,0,0,0) e il partone con (xFM,0,0,0), il momento trasferito sarà (E-E'=$\nu$,q1,q2,q3) da calcoli da fare su carta TODO risulta quindi $2Mx_Fν= − q^2_{transf}=Q^2 \Rightarrow x_F = Q^2 / ( 2Mν )≡ x_B$
Attenzione però! Sembra che si abbia $\sum_i x_i = 1$, dove la somma è su tutti i partoni, ma invece prudentemente al tempo preferirono considerare la possibilità che non tutti i partoni del nucleone potessero interagire con l'elettrone, e quindi in modo più conservativo supposero che $\sum_i x_i \leq 1$, ma NB qui la somma è su tutti i partoni che possono interagire sugli elettroni, non su tutti in assoluto (eg si escludono i gluoni in QED!).
In più, dato che il nucleone non è un oggetto classico ma quantistico, i valori di $x_i$ non sono fissati, ma descritti da distribuzioni $f_i(x)= dp/dx$ t.c. $\sum_i\int dx (xf_j(x)) = \sum_i <x_i> \leq 1$, con somma come sopra.
Per determinarlo, dal punto di vista sperimentale è sufficiente misurare lo stato finale nella parte leptonica, cioè conoscere E' e $\theta$ (da cui si ricavano $\nu$ e $Q^2$, x e y), assieme a una buona conoscenza dello stato iniziale (E,M).
Ricordando che per un partone di spin 1/2 vale la relazione 2xF1=F2, e considerando che F1=0 per particelle con spin 0 (come verificato sperimentalmetne) TODO perché? ci risalgo dal discorso sui fattori di forma E e M?, possiamo scrivere quindi $$F_2 = \sum_i e^2_i x f_i(x)$$ $$F_1 = frac{1}{2}\sum_i e^2_i f_i(x)$$ con e la carica dei partoni. TODO da scrivere su carta
Analizziamone il significato fisico. In principio p e n hanno diverse funzioni di struttura, inoltre processi diversi (eg scattering pp o $\nu$p invece di ep) potrebbero sondare diverse strutture. Pertanto quando si riferisce alle due F bisogna specificare di quale fenomeno-sonda si sta parlando. In ogni caso le F a diversi fenomeni non possono essere indipendenti, dato che se riflettono la vera dinamica del nucleone devono essere correlate: una certa struttura può rispondere diversamente a diverse interazioni, ma sempre quella struttura è. Questo viene giustificato se consideriamo, per incominciare, i barioni composti dai 3 quark di valenza, ognuno descritto da una distribuzione di x specifica per quel barioni: eg $f(x) \rightarrow u^{p\vee n}(x),\; d^{p\vee n}(x),\; \bar{u}^{p\vee n}(x),$ etc. Alcune considerazioni sui quark di valenza sono:
Ma in meccanica quantistica, a causa del principio di inteterminazione, possono esistere coppie quark-antiquark nel nucleone. Per la stessa ragione anche i gluoni sono componenti degli adroni e anch'essi (benché massless e spin 0) possono trasportare una frazione di momento del nucleone. Per questo ai 3 quark di valenza dei barioni, dobbiamo aggiungere i quark di mare, cioè le coppie q-qbar descritti da distribuzioni di x specifiche per barione e diverse da quelle di valenza, e i gluoni, con anch'essi delle loro distribuzioni $g^p(x),\;g^n(x)$
Pertanto la distribuzione degli ubar, o dei s(bar) in un protone non è zero, ma è zero solo quella di valenza, mentre quella di mare dà i suoi contributi. Similmente la distribuzione di u/d in p/n non è solo quella di valenza ma a quella va sommata quella di mare.
per isospin e meccanica quantistica e modello a quark, NON considerando la massa dei quarks, preso un barione, per il mare TUTTE le distribuzioni sono uguali per tutti i quark per tutti i barioni.
gluoni che generano coppie qqbar? paragone con QED di un gas di fotoni molto energetico e molto confinato dove vengono create continuamente coppie e+e-? TODO
I fattori di forma quindi saranno (consideriamo solo F2, F1 viene da Callan Gross) TODO DA SCRIVERE tali che $R_{e-n/p} = F_2^{en}/F_2^{ep}=$: TODO COSA STRANA, è come se le particelle in bjorken scaling si comportassero non come spinori di dirac, che richiedono dune fattori di forma, ma come una particella scalare, con un solo fattore di forma che rappresenta la distribuzione di carica come si vede anche dalla definizione di F con f(x). In realtà questo non è un fattore di forma, ma avendo una sola variabile... lo sembra
Ciò significa che è poco probabile che le coppie qqbar trasportino molto momento, ma molto probabile che tante coppie qqbar trasportino poco momento. Viceversa per quelli di valenza, per cui è più probabile trovarne che trasportano alto momento. TODO cioè molto mare a basso momento posseduto, ma per vederlo serve alto momento trasferito? e che significa?
Se il nucleone fosse una particella puntiforme di Dirac allora F2 sarebbe una delta piccata in x=1; se invece fosse composto solo dai 3 quark di valenza liberi, allora F2 sarebbe sempre una delta, ma a x=1/3, con il momento del nucleone condiviso equamente; se questi quark invece interagiscono tra loro con qualche gluone che non trasporta momento, la delta a 1/3 deve allargarsi random; se gli mettiamo anche il mare, con gluoni che trasportano momento e generano coppie qqbar che si annichilano etc, cioè come avviene in realtà, la F è una funzione complicata
Ricordando sempre che F1 e F2 sono relazionati, la sezione d'urto in b-scaling dipende solo da questa. Considerando le F2 dei processi ep e en è possibile calcolare una relazione tra le due, che quindi rappresenta un'osservabile, che in sostanza è la differenza di distribuzione di $d_v$ o $u_v$ TODO VEDERE CALCOLI e corrisponde approssimativamente alla distribuzione in x del quark di valenza considerato.
Considerimo gli integrali delle F2 di ep e en, tra 0 e 1 in x. Trascurando i piccoli contributi di ssbar nel mare l'integrale si riduce rispettivamente per p e n a una relazione $4/9 f_{u\vee d} + 1/9_{d\vee u}$, dove f sono le frazioni di momento del protone trasportati dal quark u e d e dal suo relativo antiquark (quindi considerando anche il mare).non ho capito questa definizione, non erano le x_i le frazioni di momento etc? TODO
NB: questi fattori 4/9, 1/9 da qcd vengono da il numero di quark di valenza presenti al quadrato (2 o 1) sul numero di colori possibili al quadrato (3)?
Da misure dirette delle curve di F2 in ep e en, l'area sottesa alla curva è l'integrale sopra definito, e si ottiene che integrale di $F^2_{ep}\approx 0.18$ e $F^2_{en}\approx 0.12$, quindi $f_u\approx0.36,\; f_d\approx 0.18,\; f_u +f _d \approx 0.54$
Questo risultato è importante. Significa che il momento complessivo trasportato da tutti i quarks e antiquarks, di mare e di valenza (abbiamo considerato solo u e d perché gli altri hanno contributi trascurabili) è soltanto il 50% del momento del nucleone. Il restante 50% è invisibile nel DIS con un leptone carico (QED, ma anche per qualsiasi cosa di interazione EW come i neutrini, dato che i gluoni interagiscono solo forte). La prima evidenza dell'esistenza dei gluoni.
Nello scattering con neutrini il target deve essere molto denso, massiccio, quindi composto da nuclei pesanti N, che quindi sono isoscalari TODO cioè isospin 0?. Se consideriamo uno scattering eN, in questo caso, trascurando il contributo di s e altri, la F2 è TODO fare calcolo(sottintendo 2 e x) $F^{eN} = (F{ep}+F^{en})/2 = x\cdot 5/18\cdot (u+\bar{u}+d+\bar{d})$.
Il DIS con i neutrini ha una differente dinamica, ma la funzione di struttura effettiva per un target isoscalare (questa volta debole immagino) risulta essere la stessa, a meno di un fattore costante, cioè senza il 5/18, quindi Fnu = Fe/(5/18) cioè Fe/Fnu $\sim 0.28$ che da esperimenti risulta un valore compatibile.
In esperimenti più moderni sono state sondati i nucleoni fino a valori di Q2 molto alti, usando per esempio muoni invece di elettroni che danno fasci intensi con momenti momenti più alti. Plottando le F2 misurate, questa volta a vari x in funzione di Q2 però compaiono variazioni, incompatibili con lo scaling di Bjorken, sopratutto a x bassi e alti (a x medi lo scaling funziona).
Però le violazioni di scaling non sono attribute a sottostrutture o altri effetti dinamicia, ma a cambiamenti in F2 previsti da QCD. Risulta che a alti Q2, lo splitting di partoni (sia q, qbar e g) è più facile da verificarsi: a alti Q2 e piccole dimensioni i protoni contengono più coppie qqbar e gluoni e meno quark di valenza
(sembra analogo fotoni ultradensi ultra energetici) meno quark di valenza? non è più corretto dire che i gluoni esplodono a bassi x, non avendo massa, e che quindi portano molto più momento "rubandolo" ai qv?
La parametrizzazione delle F2 quindi è un ingrediente necessario, il problema è che dipendono dalle forze adroniche che sono un complicato interagie di un non ben definito numero di corpi, in un regime non perturbativo per colpa del fatto che $\alpha_s$ non è piccola. Però le dinamiche interessanti, come la produzione di Higgs, richiedono di essere estratte rimuovendo le incertezze sullo stato iniziale a causa della cattiva conoscenza delle F2. Per cui molto impegno teorico per calcolarle.
L'obbiettivo è testare delle predizioni fatte da certe teorie. Le collisioni a basso pT cioè grandi distanze con $Q^2$ sotto qualche GeV$^2$ corrispondono a interazioni tra adroni (non puntiformi) pp(bar) in pp(bar), ma lì non ci sono predizioni teoriche possibili ma solo studi fenomenologici sui dati Ad alto pT si hanno processi:
Nuova fisica da scoprire, e verificare teorie con eventuali risultati sperimentali, EG SUSY
Guardiamo il processo p(bar)p in $j_1+j_2$.
Le collisioni adroniche a alto pT (cioè piccole distanze) (Bjorken scaling valido?) sono studiate in termini del modello quark-parton. TODO non ho ancora capito il collegamento tra alte energie, alto momento trasferito, alto pT, rapidità, piccole distanze!
Importante: al contrario dei partoni degli stati iniziale e finale, gli adroni sono singoletti di colore, quindi nel processo di frammentazione le particelle di differenti jets devono interagire, per esempio scambiandosi gluoni.
Consideriamo ora il caso più raro in cui i partoni interagenti danno origine a processo non QCD, come il processo DrellYan pp(bar) (o meglio u(bar)d(bar)) in $W^{\pm}$ (reale o no a seconda dell'energia TODO vedere come cambiano le sezioni d'urto tra processo con W reale e W virtuale, cioè picco di sez urto a W reale, e perché) che poi decade in quarks.
Questi processi sono più rari, da 100mila a 1 milione di volte in meno della pert QCD, ma a livello di ricerca fisica sono molto importanti e all'origine della costruzione di SppS per misurare W e Z, e LHC per misurare H. L'analisi procede allo stesso modo, solo con lo scattering tra partoni da QCD a due corpi che è rimpiazzato dall'appropriata teoria EW
Lo stesso discorso si può fare con qualsiasi teoria si voglia testare, eg SUSY etc
Schema valido per tutte le interazioni conosciute di quark e/o gluoni sia EW che QCD, se è applicata la corretta definizione di processo elementare con data $\hat{\sigma}$. Schema implementato su computers con simulazioni di generazione di moltissimi eventi, poi analizzati come dati reali per riprodurre i risultati statistici che si vuole prevedere. Quando si deve trattare una funzione di distribuzione si usa un algoritmo generatore di numeri (pseudo)random secondo quella distribuzione. Un singolo evento è costruito in step successivi:
1Nel caso di decadimenti EW in W/Z/H, con produzione di leptoni, il trattamento dello stato finale deve essere appropriato, cioè lo step della frammentazione è più semplice o assente. 3I modelli di frammentazione sono un mix di teoria QCD pert e non pert, parametrizzazione delle misure cioè le funzioni di frammentazione e abilità computazionale. Funzionano bene ma non sono una completa riproduzione della teoria (modelli efficaci). 2In realtà la procedura immagino proceda a approssimazioni successive, cioè algoritmi iterativi, dato che il punto 1 dipende dalle PDF che dipendono da $Q^2$ che è calcolato nel punto 2.
Due processi banco di prova per il quarkparton model sono la produzione dijet QCD e la produzione di W con decadimento dijet.
Il calcolo della sezione d'urto procede secondo la somma dei contributi, delle sezioni d'urto at parton level a una certa energia del CM at parton level, di ogni coppia possibile di partoni $i,k$ che possono andare in un certo stato finale considerato $j,m$, integrati sui limiti cinematici dati dalle $x_{i,k}$. Le PDF "pesano" i processo, dando a ogni partone l'appropriata probabilità di possedere un certo x. TODO scrivere la sez urto tra le formule
In principio il tipo di partone è osservabile, quindi si vanno a sommare direttamente le sezioni d'urto e non le ampiezze la sezione d'urto per il W è fortemente piccata per W reali, quindi xi e xk non sono cinematicamente indipendenti tra loro da notare in grafico pag 50 cap 8 che tra spps e lhc la sez urto tot rimane su 0.1 barn circa benché si vada da 0.5a 14 TeV, mentre aumentano di molto le sezioni d'urto di produzione H (6 decadi), t (7) e jet ad alto pT (6), produzione W e Z cresce di un paio di decadi e la produzione di jet a basso pT diminuisce sensibilmente
Su foglio todo TODO. Per misurare il quadrimomento dello stato finale, eg di sue jets è possibile calcolare $\hat{s}$ e $p_||$, da qui si ottengono $x_{i,k}$ e l'intera cinematica a livello partonico. Il momento trasverso complessivo deve essere bilanciato per conservazione del quadrimomento. Uno squilibrio è attribuito a particelle non interagenti come i neutrini, o a errori di misura. non capisco come la conservazione del quadrimomento imponga la conservazione del momento trasverso. la conservazione del momento angolare non può comprendere uno sbilanciamento di pT in favore di p||?
Nel modello quark-partoni gli adroni sono come delle bande larghe di partoni elementari. In prima approssimazione le funzioni di struttura non dipendono da $Q^2$, ma in realtà esistono le violazioni di scaling quindi si hanno differenze. Quando $Q^2$ aumenta:
Gli algoritmi in ordine di complicatezza sono: clustering semplici di celle vicine del calorimetro -> algoritmi a cono -> algoritmi $k_t$ e anti-$k_t$. Dopo averlo ricostruito bisogna ricostruire il quadrimomento tramite $p^\mu_j = (\sum E_{adro}, \sum \vec{p}_{adro})$
Da notare che questa definizione dà ai jets una massa diversa da 0 e generalmente molto più larga della piccola massa del partone
Identificando il jet, e quindi il partone che l'ha generato e conoscendone il quadrimomento porta a controllare con manipolazioni facendo confronti con casi noti tipo W/Z in jet e con simulazioni cercando di interpretare l'evento.
Il colore spiega l'esistenza del barione $\Delta^{++}$ ed è necessario per spiegare il valore del rapporto $R = \sigma_{adro}/\sigma_{\mu^+\mu^-}$ nelle interazioni e+e-, che mostra un eccesso di un fattore esattamente 3. Similmente è necessario per spiegare il decadimento di $\pi^0 \rightarrow \gamma \gamma$. Questi fatti mostrano che il colore è il nucleo della dinamica delle interazioni forti. I due effetti principali spiegati dalla teoria sono il confinamento e la libertà asintotica.
La QCD moderna è una teoria di gauge basata sulla simmetria SU(3). I portatori dell'interazione sono 8 particelle vettori (cioè spin 1) massless e colorate, i gluoni. Questi sono fonte delle principali analogie e allo stesso tempo differenze con QED: analogia è che siano massless e spin 1 come il fotone, ma le differene fondamentali sono che il gluone non è neutro ma trasporta una carica e pertanto può autoaccoppiarsi.
Un esempio di come il colore sia determinante, anche in processi che non riguardano direttamente l'interazione forte (e quindi una prova dell'esistenza di 3 cariche ulteriori dei quarks) è il decadimento del pi0, che è un processo puramente QED che dipende da un parametro QCD, il numero di colori. Si calcola l'ampiezza di decadimento $\bra{\gamma \gamma}Q_{em}\ket{\pi^0}$ con $\pi^0 = (u\bar{u} - d\bar{d})/\sqrt{2}$. Questa dipenderà, (oltre che da $\alpha$, dalla massa del pi e da una costante fattore di forma? TODO che tiene conto dell'overlap delle funzioni d'onda quark-antiquark) dalle cariche dei quarks, compreso il numero di colori. La larghezza sarà quindi $\propto(q_u^2-q_d^2/e^2)^2 N_c^2 = 7.64 (N_c/3)^2 eV$, cosa che dagli esperimenti è abbastanza confermata e consistente con $N_c = 3$.
La simmetria SU(3) di colore è identica a quella di flavor: si definisce un isospin di colore, e una ipercarica di colore. La funzione d'onda di colore per i barioni implica che il numero barionico è 1 per 3 q o 3 antiq, che il colore complessivo deve essere 0 e che sia antisimmetrica per rispettare il principio di Pauli: si ha quindi $\Psi_{c}^{barioni} = $ somma e sottrazione permutazioni etc.
I processi at tree level sono tutti i possibili scattering con diagrammi s o t tra quark, antiquark e gluoni, con la novità di poter avere vertici a 3 e a 4 gluoni, quindi canali s gg in qqbar mediati da g, canali s e t di soli gg in gg mediati da g
È la carica, equivalente a quella elettrica. È conservata nel processo forte (ma non in quello debole!). Funziona come i colori RGB: r+g = giallo = antib. Un gluone trasporta due colori (diversi? sempre due colori o anche un colore e un anticolore? non si capisce TODO), il quale come visto rappresenta un anticolore e viceversa? se trasporta due anticolori porta un colore?. I fluoni sono colorati, quindi sono autoaccoppiati: esistono sia vertici con 3 gloni sia con 4, cosa che in QED esiste solo a ordini più alti con loops-triangoli-etc. Il numero di gluoni è 8, e viene dal numero di generatori di SU(3) cioè le matrici di Gell-Mann, o in parole diverse viene dalle possibili combinazioni di due rgb tolto il singoletto $(r\bar{r}+g\bar{g}+b\bar{b})\sqrt{3}$. Diagrammi quark-gluoni conservano i colori e possono essere disegnabili come i diagrammi dei mesoni scomposti in quarks. Ovviamente per un diagramma ci sono tutte le permutazioni dei colori
Il colore non si manifesta come una proprietà osservabile delle particelle: una particella "rossa" non è stata mai osservata. La spiegazione di ciò è che stati fisicamente esistenti possono essere solo "bianchi" cioè singoletti di colore. La conseguenza è il confinamento, cioè che quark e gluoni non possono essere osservati come stati liberi: loro esistono solo dentro l'analogo delle molecole, cioè gli adroni. Benché il formalismo matematico di QCD descriva questo, un analogo qualitativo è il funzionamento del magneto che si rompe. Una conseguenza del confinamento è che i partoni (q e g) creati in scattering adronico o leptonico devono sottostare a un complicato meccanismo il quale alla fine produce soltanto singoletti di colore, cioè gli adroni, nei jets.
Nel DIS ad alto $Q^2$ i proiettili "vedono" scale più piccole dentro i nucleoni. A piccole distanze la forza tra quarks e gluoni sembra sempre più piccola: i quarks a una certo punto si comportano praticamente come particelle libere -> Bjorken scaling. Questo effetto è la libertà asintotica. Dall'altro canto con l'aumentare delle distanze tra quarks l'intensità della forza forte aumenta, lasciando i quark confinati nel nucleone. Ad una certa distanza l'energia disponibile diventa sufficiente per creare una nuova coppia q-antiq, portando alla produzione di un nuovo adrone ma prevenendo l'emissione di quarks come particelle libere.
Cioè tra i quarks esiste un campo di colore. I gluoni che mediano questa forza agiscono come fonte addizionale del campo di colore (i gluoni sono non abeliani). L'interazione gluone-gluone stira le linee di forza del colore in un "tubo" più sottile, una sorta di stringa, la cui tensione e quindi energia potenziale aumenta con la sua lunghezza.
Le particelle della teoria sono costruite come gli ottetti di SU3 flavor, ma usando i quarks e i colori. Tecnicamente, si introducono gli operatori scaletta (T, U, V)$_\pm$.
In linea di principio sono possibili singoletti di colore tetra e penta quarks e stati legati gluone-gluone.
Usando un approccio semiclassico al potenziale QCD:
Avendo questi valori si risolve numericamente l'equazione di Schrodinger e si derivano, per esempio, le proprietà degli stati legati, cioè i livelli energetici delle risonanze. Questa approssimazione funziona meglio in casi non relativistici, cioè con potenziali piccoli (rispetto le masse in gioco) V<< m. Ciò porta a un buon accordo, sopratutto per quark pesanti.
Un modo per considerare gli ordini superiori ma semplificando i calcoli è riassorbirli in una $\alpha_s$ effettiva. I loops incrementano a alti $Q^2$ e quindi $\alpha_s$ non è costante a evolve dal suo valore a bassi $Q^2$ con tecniche sui diagrammi di Feynmann standard.
Una differenza importante di $\alpha_s$ con $\alpha_{em} = \alpha$ è che loops di ordini maggiori in $\alpha$ sono dovuti soltanto a fermioni e quindi aumentano $\alpha$ come funzione di $Q^2$; al contrario dato che i gluoni sono autoaccoppiati, i loops in $\alpha_s$ ad alto Q^2 sono dovuti sopratutto a bosoni TODO perché basso x e quindi PDF gluonica dominante per libertà asintotica? TODO IMPORTANTE se $x = Q^2/2M\nu$ come diamine è possibile che aumentando $Q^2$ si va a urti più anelastici cioè con x minori cioè con y minori cioè con energia trasferita $\nu$ minore?. Questo fatto produce in automatico confinamento e libertà asintotica.
Il valore effettivo di $\alpha_s$ quindi diminuisce come funzione di $Q^2$, spiegando nucleoni, cioè partoni strettamente legati, e DIS, partoni quasi del tutto non legati. Questoa valore oltre a dipendere del numero di colori, che è costante sempre e comunque, dipende anche dal numero di flavors che partecipano all'interazione a un certo $Q^2$, il quale è per l'appunto funzione di $Q^2$ pure: per semplicità, a un certo valore di $Q^2$ al calcolo di $\alpha_s$ partecipano diagrammi con flavor tc $(2m)^2<Q^2$
Dopo un processo elementare partonico ci sono tre fasi:
I jets possono essere identificati con il partone dello stato finale del processo elementare. Un grosso problema p che per preservare il colore, due jets dello stato finale devono interagire tra essi, per esempio con lo scambio di un gluone, pertanto è impossibile assegnare in un certo evento un certo adrone, e quindi un certo jet a un partone genitore. Tuttavia, quando $Q^2>$ di alcuni GeV^2 la maggioranza degli eventi presenta due (raramente tre) jets ben identificati, con poca ambiguità. Dal punto di vista sperimentale è relativamente semplice: praticamente tutti gli eventi di e+e- in adroni per $\sqrt{s}>$ alcuni GeV hanno due jet collimati, abbastanza ben opposti in $\theta$ e $\phi$; la direizione e il momento del partone può essere ricostruita in questo caso, dalla somma dei quadrimomenti degli adroni dei jets. È anche possibile misurare preso un adrone una funzione di frammentazione $f(E_{adrone/E_{partone}})$
Ogni tanto capita che un partone emetta un gluone di bremsstrahlung a un angolo e energia sufficiente da produrre un terzo jet, ben separato dagli altri due. La frazione di eventi con 3 jets è $\propto \alpha_s$: la sez urto 2jets è $\propto \alpha^2$, quella 3jets $\propto \alpha^2 \cdot \alph_s \Rightarrow \sigma_3/\sigma_2 \propto \alpha_s$. Pertanto $\alpha_s$, tra i tanti modi, può essere definita come la misura del rapporto del numero di eventi 3jets/2jets.
un alto valore di $\alpha_s$, (>0.10) implica l'importanza di ordini più alti dell'interazione forte, cosa particolarmente vera se questi ordini più alti sono stati finali multijets
Però i jets sono quantità non ben definite dato che dipendono dalla definizione, cioè dall'algoritmo che li ricostruisce. Ciò implica che bisogna calcolare, per esempio via simulazioni l'ammontare di eventi multijet con un certo algoritmo utilizzato e un certo valore di $\alpha_s$. Il paragone con i dati analizzati con lo stesso algoritmo è una "misura" di $\alpha_s$ (per esempio, troppi 3jets nei dati significa che la $\alpha_s$ usata nella simulazione era troppo piccola). Discorso simile vale per 4-5etc jets.
Se lo spin dei q = pin dei l = 1/2, allora negli eventi e+e- in jets la sez urto differenziale sarà $\propto(1+cos^2\theta)$ come per la produzone di due muoni.
Al polo Z l'asimmetria qqbar è piccola, RB ambiguità TODO NON RICORDO O NON HO CAPITO CHE È
Tuttavia, se i quark pesanti hanno una massa non trascurabile, allora non si può usare l'approssimazione ultrarelativistica e bisogna mettere un fattore $\beta*_q = \sqrt{1-4m^2_q/s}$. L'angolo polare del quark deve essere definito, ma q e qbar sono difficilmente distinguibili dai jets, pertanto c'è una ambiguità sperimentale $\theta \leftrightarrow 180°-\theta \Rightarrow cos\theta \leftrightarrow -cos\theta$. Pertanto il valore di $\theta$, cioè la direzione del quark, è data dall'asse del jet, con tutti i dubbi del caso: definito di solito asse fiduciario (thrust) come la direzione che minimizza la somma dei momenti trasversi delle particelle dello stato finale rispetto a esso.
Le misure sono consistenti con un incremento di sez urto a angoli piccoli come predetto da spin 1/2 (a angoli prossimi a 1 ci sono i problemi di ambiguità), mentre se fossero spin0 la sez urto dovrebbe diminuire-
Già l'esistenza degli eventi multijet è una conferma dei gluoni, escludento errori degli algoritmi. Altre prove includono:
Le misure dello spin del gluone sono fatte negli eventi e+e- in 3jets, misurando il terzo jet che viene dal brem di gluone TODO teoria predice 75% non ho capito di che. Dopo aver ordinato i jets a seconda delle energie, viene usata la variabile $Z = 2(E_2-E_3)/\sqrt{3s}$, che dipende dallo spin del gluone. Il risultato è in accordo con spin 1.
La misura viene fatta misurando la forza dell'accoppiamento osservando eventi con diverso $Q^2$
Paragone angolare tra QED e QCD. Lo scattering Rutherford QED dipende nettamente da $1/sin^2(\theta/2)$. Su scala diversa (le costanti sono diverse), scattering ppbar con $Q^2 \sim GeV^2$ mostra stesso andamento.
Con $\alpha_s >0$ TODO prof scrive "any objection", ma su cosa? segue che $11N_c-2N_f>0 \Rightarrow N_f < 11N_c/2 = 33/2 = 16.5$. Quindi un limite superiore sul numero di flavor possibili in SM. Dopo la misurazione della larghezza di Z questo limite ha perso di importanza TODO NON RICORDO PERCHÈ (anche se c'è la piccola possibilità di molti addizionali con neutrini massivi)
Dato che $\alpha_s(Q^2)$ diminuisce e che $\alpha$ aumentra, a un certo punto si suppone si debbano incontrare. A questo valore di Q^2 cosa accade alla gravità? Dalla teoria SUSY si ipotizza che a $\sqrt{Q^2}\sim 10^15 GeV$ i tre accoppiamenti hanno lo stesso valore, implicando possibilmente una grande unificazione. In SM l'andamento delle 3 costanti invece si perde sensibilmente. ma di quale 3o accoppiamento stiamo parlando? gravità? e quale è?
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