Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.
"Vivemos de nossos atos, não dos anos vividos; de pensamentos, não apenas da respiração; de sentimentos, não dos números em um disco de telefone. Deveríamos contar o tempo em pulsações. Vive mais aquele que pensa mais, sente-se o mais nobre, aquele que age melhor." - P.J. Bailey
Um circuito de primeira ordem é caracterizado por uma equação diferencial de primeira ordem.
Um circuito RC sem fonte ocorre quando sua fonte CC é desconectada abruptamente. A energia já armazenada no capacitor é liberada para os resistores.
A resposta natural de um circuito se refere ao comportamento (em termos de tensões e correntes) do próprio circuito, sem nenhuma fonte externa de excitação.
A resposta natural depende da natureza do circuito em si, sem nenhuma fonte externa. De fato, o circuito apresenta uma resposta apenas em razão da energia armazenada inicialmente no capacitor.
A resposta natural é ilustrada graficamente na Figura 7.2. Observe que em t = 0 temos a condição inicial correta como na Equação anterior. À medida que t aumenta, a tensão diminui em direção a zero. A rapidez com que a tensão decresce é expressa em termos da constante de tempo, representada por \tau, a letra grega minúscula tau.
A constante de tempo de um circuito é o tempo necessário para a resposta de decaimento a um fator igual a 1/e ou a 36,8% de seu valor inicial
\begin{align} {\Large \tau = RC} \end{align}Assim, a equação da tensão em função do tempo, fica:
\begin{align} {\Large v(t) = V_0 e^{\frac{-t}{\tau}}} \end{align}Com a tensão v(t) na Equação, podemos determinar a corrente iR(t):
\begin{align} {\Large iR(t) = \frac{V_0}{R} e^{\frac{-t}{\tau}}} \end{align}A energia absorvida pelo resistor até o instante t é:
\begin{align} {\Large w_R(t) = \int_{0}^{t} p(x)dx = \frac{1}{2} C V_0² (1 - e^{-2 \frac{t}{\tau}})} \end{align}Note que, à medida que t -> ∞, wR(∞) -> CV0²/2, que é o mesmo que wC(0), a energia armazenada inicialmente no capacitor, a qual é finalmente dissipada no resistor.
O segredo para se trabalhar com um circuito RC sem fonte é encontrar:
Exemplo 7.1
Na Figura 7.5, façamos vC(0) = 15 V. Determine vC, vx e ix para t 7 0.
In [18]:
print("Exemplo 7.1")
import numpy as np
from sympy import *
C = 0.1
v0 = 15
t = symbols('t')
Req1 = 8 + 12
Req2 = Req1*5/(Req1 + 5)
tau = C*Req2
vc = v0*exp(-t/tau)
vx = vc*12/(12 + 8)
ix = vx/12
print("Tensão Vc:",vc,"V")
print("Tensão Vx:",vx,"V")
print("Corrente ix:",ix,"A")
Problema Prático 7.1
Consulte o circuito da Figura 7.7. Seja, vC(0) = 60 V. Determine vC, vx e io, para t >= 0.
In [31]:
print("Problema Prático 7.1")
v0 = 60
C = 1/3
Req1 = 12*6/(12 + 6)
Req2 = Req1 + 8
tau = C*Req2
vc = v0*exp(-t/tau)
vx = vc*Req1/(Req1 + 8)
vr = vc - vx
i0 = - vr/8
print("Tensão Vc:",vc,"V")
print("Tensão Vx:",vx,"V")
print("Corrente i0:",i0,"A")
Exemplo 7.2
A chave no circuito da Figura 7.8 foi fechada por um longo período e é aberta em t = 0. Determine v(t) para t >= 0. Calcule a energia inicial armazenada no capacitor.
In [32]:
print("Exemplo 7.2")
Vf = 20
m = 10**-3
C = 20*m
v0 = Vf*9/(9 + 3)
Req = 9 + 1
tau = Req*C
vc = v0*exp(-t/tau)
wc = (C*v0**2)/2
print("Tensão v(t):",vc,"V")
print("Energia inicial:",wc,"J")
Problema Prático 7.2
Se a chave da Figura 7.10 abrir em t = 0, determine v(t) para t >= 0 e wC(0).
In [33]:
print("Problema Prático 7.2")
Vf = 24
C = 1/6
Req1 = 12*4/(12 + 4)
v0 = Vf*Req1/(Req1 + 6)
tau = Req1*C
v = v0*exp(-t/tau)
wc = (C*v0**2)/2
print("Tensão v(t):",v,"V")
print("Energia inicial:",wc,"J")