Indutores

Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.

Um indutor consiste em uma bobina de fio condutor.

Qualquer condutor de corrente elétrica possui propriedades indutivas e pode ser considerado um indutor. Mas, para aumentar o efeito indutivo, um indutor usado na prática é normalmente formado em uma bobina cilíndrica com várias espiras de fio condutor, conforme ilustrado na Figura 6.21.

Ao passar uma corrente através de um indutor, constata-se que a tensão nele é diretamente proporcional à taxa de variação da corrente

\begin{align} {\Large v = L \frac{di}{dt}} \end{align}

onde L é a constante de proporcionalidade denominada indutância do indutor.

Indutância é a propriedade segundo a qual um indutor se opõe à mudança do fluxo de corrente através dele, medida em henrys (H).

A indutância de um indutor depende de suas dimensões físicas e de sua construção.

\begin{align} {\Large L = \frac{N^2 µ A}{l}} \end{align}

onde N é o número de espiras, / é o comprimento, A é a área da seção transversal e µ é a permeabilidade magnética do núcleo

Relação Tensão-Corrente:

\begin{align} {\Large i = \frac{1}{L} \int_{t_0}^{t} v(τ)dτ + i(t_0)} \end{align}

Potência Liberada pelo Indutor:

\begin{align} {\Large p = vi = (L \frac{di}{dt})i} \end{align}

Energia Armazenada:

\begin{align} {\Large w = \int_{-∞}^{t} p(τ)dτ = L \int_{-∞}^{t} \frac{di}{dτ} idτ = L \int_{-∞}^{t} i di} \end{align}\begin{align} {\Large w = \frac{1}{2} Li^2} \end{align}

  1. Um indutor atua como um curto-circuito em CC.

  2. A corrente através de um indutor não pode mudar instantaneamente.

  3. Assim como o capacitor ideal, o indutor ideal não dissipa energia; a energia armazenada nele pode ser recuperada posteriormente. O indutor absorve potência do circuito quando está armazenando energia e libera potência para o circuito quando retorna a energia previamente armazenada.

  4. Um indutor real, não ideal, tem um componente resistivo significativo, conforme pode ser visto na Figura 6.26. Isso se deve ao fato de que o indutor é feito de um material condutor como cobre, que possui certa resistência denominada resistência de enrolamento Rw, que aparece em série com a indutância do indutor. A presença de Rw o torna tanto um dispositivo armazenador de energia como um dispositivo dissipador de energia. Uma vez que Rw normalmente é muito pequena, ela é ignorada na maioria dos casos. O indutor não ideal também tem uma capacitância de enrolamento Cw em decorrência do acoplamento capacitivo entre as bobinas condutoras. A Cw é muito pequena e pode ser ignorada na maioria dos casos, exceto em altas frequências

Exemplo 6.8

A corrente que passa por um indutor de 0,1 H é i(t) = 10te–5t A. Calcule a tensão no indutor e a energia armazenada nele.


In [2]:
print("Exemplo 6.8")

import numpy as np
from sympy import *

L = 0.1
t = symbols('t')
i = 10*t*exp(-5*t)

v = L*diff(i,t)

w = (L*i**2)/2

print("Tensão no indutor:",v,"V")
print("Energia:",w,"J")


Exemplo 6.8
Tensão no indutor: -5.0*t*exp(-5*t) + 1.0*exp(-5*t) V
Energia: 5.0*t**2*exp(-10*t) J

Problema Prático 6.8

Se a corrente através de um indutor de 1 mH for i(t) = 60 cos(100t) mA, determine a tensão entre os terminais e a energia armazenada.


In [3]:
print("Problema Prático 6.8")

m = 10**-3 #definicao de mili
L = 1*m
i = 60*cos(100*t)*m
v = L*diff(i,t)
w = (L*i**2)/2

print("Tensão:",v,"V")
print("Energia:",w,"J")


Problema Prático 6.8
Tensão: -0.006*sin(100*t) V
Energia: 1.8e-6*cos(100*t)**2 J

Exemplo 6.9

Determine a corrente através de um indutor de 5 H se a tensão nele for

v(t):

30t^2, t>0

    0, t<0

Determine, também, a energia armazenada no instante t = 5s. Suponha i(v)>0.


In [4]:
print("Exemplo 6.9")

L = 5
v = 30*t**2

i = integrate(v,t)/L

print("Corrente:",i,"A")

w = L*(i.subs(t,5)**2)/2

print("Energia:",w,"J")


Exemplo 6.9
Corrente: 2*t**3 A
Energia: 156250 J

Problema Prático 6.9

A tensão entre os terminais de um indutor de 2 H é v = 10(1 – t) V. Determine a corrente que passa através dele no instante t = 4 s e a energia armazenada nele no instante t = 4s. Suponha i(0) = 2 A.


In [11]:
print("Problema Prático 6.9")

L = 2
v = 10*(1 - t)
i0 = 2

i = integrate(v,t)/L + i0
i4 = i.subs(t,4)

print("Corrente no instante t = 4s:",i4,"A")

p = v*i

w = integrate(p,(t,0,4))

print("Energia no instante t = 4s:",w,"J")


Problema Prático 6.9
Corrente no instante t = 4s: -18 A
Energia no instante t = 4s: 320 J

Exemplo 6.10

Considere o circuito da Figura 6.27a. Em CC, determine:

(a) i, vC e iL;

(b) a energia armazenada no capacitor e no indutor.


In [13]:
print("Exemplo 6.10")

Req = 1 + 5
Vf = 12
C = 1
L = 2

i = Vf/Req

print("Corrente i:",i,"A")

#vc = tensao sobre o capacitor = tensao sobre resistore de 5ohms
vc = 5*i

print("Tensão Vc:",vc,"V")

print("Corrente il:",i,"A")

wl = (L*i**2)/2
wc = (C*vc**2)/2

print("Energia no Indutor:",wl,"J")
print("Energia no Capacitor:",wc,"J")


Exemplo 6.10
Corrente i: 2.0 A
Tensão Vc: 10.0 V
Corrente il: 2.0 A
Energia no Indutor: 4.0 J
Energia no Capacitor: 50.0 J

Problema Prático 6.10

Determine vC, iL e a energia armazenada no capacitor e no indutor no circuito da Figura 6.28 em CC.


In [14]:
print("Problema Prático 6.10")

Cf = 10
C = 4
L = 6

il = 10*6/(6 + 2) #divisor de corrente
vc = 2*il

wl = (L*il**2)/2
wc = (C*vc**2)/2

print("Corrente il:",il,"A")
print("Tensão vC:",vc,"V")
print("Energia no Capacitor:",wc,"J")
print("Energia no Indutor:",wl,"J")


Problema Prático 6.10
Corrente il: 7.5 A
Tensão vC: 15.0 V
Energia no Capacitor: 450.0 J
Energia no Indutor: 168.75 J

Indutores em Série e Paralelo

A indutância equivalente de indutores conectados em série é a soma das indutâncias individuais.

\begin{align} L_{eq} = L_1 + L_2 + ... + L_N = \sum_{i = 1}^{N}L_i \end{align}

A indutância equivalente de indutores paralelos é o inverso da soma dos inversos das indutâncias individuais.

\begin{align} L_{eq} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + ... + \frac{1}{L_N} = (\sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{L_i})^{-1} \end{align}

Ou, para duas Indutâncias:

\begin{align} L_{eq} = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2} \end{align}

Exemplo 6.11

Determine a indutância equivalente do circuito mostrado na Figura 6.31.


In [15]:
print("Exemplo 6.11")

Leq1 = 20 + 12 + 10
Leq2 = Leq1*7/(Leq1 + 7)
Leq3 = 4 + Leq2 + 8

print("Indutância Equivalente:",Leq3,"H")


Exemplo 6.11
Indutância Equivalente: 18.0 H

Problema Prático 6.11

Calcule a indutância equivalente para o circuito indutivo em escada da Figura 6.32.


In [16]:
print("Problema Prático 6.11")

def Leq(x,y): #definicao de funcao para calculo de duas indutancias equivalentes em paralelo
    L = x*y/(x + y)
    return L

Leq1 = 40*m + 20*m
Leq2 = Leq(30*m,Leq1)
Leq3 = Leq2 + 100*m
Leq4 = Leq(40*m,Leq3)
Leq5 = 20*m + Leq4
Leq6 = Leq(Leq5,50*m)

print("Indutância Equivalente:",Leq6,"H")


Problema Prático 6.11
Indutância Equivalente: 0.025000000000000005 H

Exemplo 6.12

Para o circuito da Figura 6.33,

i(t) = 4(2 – e–10t) mA.

Se i2(0) = –1 mA, determine:

(a) i1(0);

(b) v(t), v1(t) e v2(t);

(c) i1(t) e i2(t).


In [23]:
print("Exemplo 6.12")

i = 4*(2 - exp(-10*t))*m
i2_0 = -1*m

i1_0 = i.subs(t,0) - i2_0

print("Corrente i1(0):",i1_0,"A")

Leq1 = Leq(4,12)
Leq2 = Leq1 + 2

v = Leq2*diff(i,t)
v1 = 2*diff(i,t)
v2 = v - v1

print("Tensão v(t):",v,"V")
print("Tensão v1(t):",v1,"V")
print("Tensão v2(t):",v2,"V")

i1 = integrate(v1,(t,0,t))/4 + i1_0
i2 = integrate(v2,(t,0,t))/12 + i2_0

print("Corrente i1(t):",i1,"A")
print("Corrente i2(t):",i2,"A")


Exemplo 6.12
Corrente i1(0): 0.00500000000000000 A
Tensão v(t): 0.2*exp(-10*t) V
Tensão v1(t): 0.08*exp(-10*t) V
Tensão v2(t): 0.12*exp(-10*t) V
Corrente i1(t): 0.007 - 0.002*exp(-10*t) A
Corrente i2(t): -0.001*exp(-10*t) A

Problema Prático 6.12

No circuito da Figura 6.34,

i1(t) = 0,6e–2t A.

Se i(0) = 1,4 A, determine:

(a) i2(0);

(b) i2(t) e i(t);

(c) v1(t), v2(t) e v(t).


In [26]:
print("Problema Prático 6.12")

i1 = 0.6*exp(-2*t)
i_0 = 1.4

i2_0 = i_0 - i1.subs(t,0)

print("Corrente i2(0):",i2_0,"A")

v1 = 6*diff(i1,t)
i2 = integrate(v1,(t,0,t))/3 + i2_0
i = i1 + i2

print("Corrente i2(t):",i2,"A")
print("Corrente i(t):",i,"A")

Leq1 = Leq(3,6)
Leq2 = Leq1 + 8
v = Leq2*diff(i)
v2 = v - v1

print("Tensão v1(t):",v1,"V")
print("Tensão v2(t):",v2,"V")
print("Tensão v(t):",v,"V")


Problema Prático 6.12
Corrente i2(0): 0.800000000000000 A
Corrente i2(t): -0.4 + 1.2*exp(-2*t) A
Corrente i(t): -0.4 + 1.8*exp(-2*t) A
Tensão v1(t): -7.2*exp(-2*t) V
Tensão v2(t): -28.8*exp(-2*t) V
Tensão v(t): -36.0*exp(-2*t) V