Aula 5 - Análise de Malhas

Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.

A análise de malhas também é conhecida como análise de laço ou método malha corrente.

Lembre-se de que um laço é um caminho fechado que não passa mais de uma vez pelo mesmo nó. Uma malha é um laço que não contém qualquer outro laço dentro de si.

O circuito da Figura 3.15a tem dois ramos que se cruzam, porém ele pode ser redesenhado como na Figura 3.15b. o circuito da Figura 3.15a também é planar; entretanto, o circuito da Figura 3.16 é não planar, pois não há nenhuma maneira de redesenhá-lo sem que haja algum cruzamento entre ramos.

Malha é um laço que não contém nenhum outro laço em seu interior.

O sentido da corrente de malha é arbitrário (sentido horário ou anti-horário) e não afeta a validade da solução.

Etapas na determinação de correntes de malha:

  1. Atribua correntes de malha i1, i2, ..., in a n malhas.
  2. Aplique a LKT a cada uma das n malhas. Use a lei de Ohm para expressar as tensões em termos de correntes de malha.
  3. Resolva as n equações simultâneas resultantes para obter as correntes de malha.

Resolução para a figura 3.17.

Malha 1:

\begin{align} {\Large -V_1 + R_1i_1 + R_3(i_1 - i_2) = 0} \\{\Large (R_1 + R_3)i_1 - R_3i_2 = V_1} \end{align}

Malha 2:

\begin{align} {\Large R_2i_2 + V_2 + R_3(i_2 - i_1) = 0} \\{\Large -R_3i_1 + (R_2 + R_3)i_2 = -V_2} \end{align}

Reorganizando as equações, temos:

\begin{align} \begin{bmatrix} R_1 + R_3 & -R_3 \\ -R_3 & R_2 + R_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_1 \\ -V_2 \end{bmatrix} \end{align}

Note que as correntes de ramo são diferentes das de malha, a menos que a malha esteja isolada. Para distinguir entre os dois tipos de correntes, usaremos i para indicar correntes de malha e I para indicar correntes de ramo. Os elementos de corrente I1, I2 e I3 são somas algébricas das correntes de malha. Fica evidente da Figura 3.17 que:

\begin{align} {\Large I_1 = i_1} \\{\Large I_2 = i_2} \\{\Large I_3 = i_1 - i_2} \end{align}

Exemplo 3.5

Para o circuito da Figura 3.18, determine as correntes de ramo I1, I2 e I3 usando a análise de malhas.


In [1]:
print("Exemplo 3.5")
import numpy as np

V1 = 15
V2 = 10

#Malha 1:
#-V1 + 5i1 + 10(i1 - i2) + V2 = 0
    #15i1 - 10i2 = 5
    #3i1 - 2i2 = 1
    
#Malha 2:
#-V2 + 10(i2 - i1) + 6i2 + 4i2 = 0
    #20i2 - 10i1 = 10
    #2i2 - i1 = 1
    
coef = np.matrix('3 -2;2 -1')
res = np.matrix('1;1')
I = np.linalg.inv(coef)*res
print("Corrente I1:",I[0],"A")
print("Corrente I2:",I[1],"A")
print("Corrente I3:",I[0]-I[1],"A") #aproximadamente = 0


Exemplo 3.5
Corrente I1: [[ 1.]] A
Corrente I2: [[ 1.]] A
Corrente I3: [[ -2.22044605e-16]] A

Problema Prático 3.5

Calcule as correntes de malha i1 e i2 no circuito da Figura 3.19.


In [3]:
print("Problema Prático 3.5")
V1 = 45
V2 = 30

#Malha 1:
#2i1 + 12(i1 - i2) + 4i1 = V1
    #18i1 - 12i2 = 45
    #6i1 - 4i2 = 15

#Malha 2:
#3i2 + 12(i2 - i1) + 9i2 = -V2
    #-12i1 + 24i2 = 30
    #-2i1 + 4i2 = -5

coef = np.matrix("6 -4;-2 4")
res = np.matrix("15;-5")
I = np.linalg.inv(coef)*res
print("Corrente i1:",I[0],"A")
print("Corrente i2:",I[1],"A")


Problema Prático 3.5
Corrente i1: [[ 2.5]] A
Corrente i2: [[ 0.]] A

Exemplo 3.6

Use a análise de malhas para encontrar a corrente Io no circuito da Figura 3.20.


In [4]:
print("Exemplo 3.6")
V1 = 24
CCVS = 4#io

#Malha 1:
#10(i1 - i2) + 12(i1 - i3) = V1
    #22i1 - 10i2 - 12i3 = 24
    #11i1 - 5i2 - 6i3 = 12

#Malha 2:
#24i2 + 4(i2 - i3) + 10(i2 - i1) = 0
    #-10i1 + 38i2 - 4i3 = 0
    #-5i1 + 19i2 - 2i3 = 0

#Malha 3:
#12(i3 - i1) + 4(i3 - i2) + 4i0 = 0
    #i0 = i1 - i2
    #-12i1 - 4i2 + 16i3 + 4(i1 - i2) = 0
    #-8i1 - 8i2 + 16i3 = 0
    #-i1 - i2 + 2i3 = 0

coef = np.matrix("11 -5 -6;-5 19 -2;-1 -1 2")
res = np.matrix("12;0;0")
I = np.linalg.inv(coef)*res
print("Corrente i0:",I[0]-I[1],"A")


Exemplo 3.6
Corrente i0: [[ 1.5]] A

Problema Prático 3.6

Usando a análise de malhas, determine Io no circuito da Figura 3.21.


In [7]:
print("Problema Prático 3.6")
V1 = 16
CCVS = 10#io

#Malha 1:
#-V1 + 4(i1 - i3) + 2(i1 - i2) = 0
    #6i1 - 2i2 - 4i3 = 16
    #3i1 - i2 - 2i3 = 8

#Malha 2:
#2(i2 - i1) + 8(i2 - i3) - CCVS = 0
    #-2i1 + 10i2 - 8i3 = 10i0
    #i0 = i3
    #-i1 + 5i2 - 9i3 = 0

#Malha 3:
#6i3 + 8(i3 - i2) + 4(i3 - i1) = 0
    #-4i1 - 8i2 + 18i3 = 0
    #-2i1 - 4i2 + 9i3 = 0

coef = np.matrix("3 -1 -2;-1 5 -9;-2 -4 9")
res = np.matrix("8;0;0")
I = np.linalg.inv(coef)*res
print("Corrente i0:",I[2],"A")


Problema Prático 3.6
Corrente i0: [[-4.]] A

Análise de malhas com fontes de corrente

Caso 1: Quando existe uma fonte de corrente apenas em uma malha: considere, por exemplo, o circuito da Figura 3.22. Fazemos i2 = –5 A e escrevemos uma equação de malha para a outra malha da maneira usual, isto é:

\begin{align} {\Large -10 + 4i_1 + 6(i_1 - i_2) = 0} \\{\Large i_1 = -2 A} \end{align}

Caso 2: Quando uma fonte de corrente existe entre duas malhas: considere o circuito da Figura 3.23a, por exemplo. Criamos uma supermalha, excluindo a fonte de corrente e quaisquer elementos a ela associados em série, como mostrado na Figura 3.23b. Logo:

Uma supermalha é resultante quando duas malhas possuem uma fonte de corrente (dependente ou independente) em comum.

uma supermalha deve realizar a LKT como qualquer outra malha. Assim, aplicando a LKT à supermalha da Figura 3.23b, temos:

\begin{align} {\Large -20 + 6i_1 + 10i_2 + 4i+2 = 0} \\{\Large 6i_1 + 14i_2 = 20} \\Assim: \\{\Large i_1 = -3,2 A} \\{\Large i_2 = 2,8 A} \end{align}

Exemplo 3.7

Para o circuito da Figura 3.24, determine i1 a i4 usando a análise de malhas.


In [8]:
print("Exemplo 3.7")
V1 = 10
C1 = 5
CCCS = 3#io

#Supermalha:
#2i1 + 4i3 + 8(i3 - i4) + 6i2 = 0
    #2i1 + 6i2 + 12i3 - 8i4 = 0
    #i4 = -i0
    #i1 + 3i2 + 6i3 + 4i0 = 0
    #i2 - i3 = 3i0 => i3 = i2 - 3i0
    #i2 - i1 = 5 => i1 = i2 - 5
    #i2 - 5 + 3i2 + 6(i2 - 3i0) + 4i0 = 0
        #10i2 - 14i0 = 5

#Malha 4:
#V1 + 8(i4 - i3) + 2i4 = 0
    #-8i3 + 10i4 = -10
    #-4i3 - 5i0 = -5
    #-4(i2 - 3i0) - 5i0 = -5
        #-4i2 + 7i0 = -5

coef = np.matrix("10 -14; -4 7")
res = np.matrix("5;-5")
I = np.linalg.inv(coef)*res
i1 = I[0] - 5
i4 = -I[1]
print("Corrente i1:",i1,"A")
print("Corrente i4:",i4,"A")


Exemplo 3.7
Corrente i1: [[-7.5]] A
Corrente i4: [[ 2.14285714]] A

Problema Prático 3.7

Use a análise de malhas para determinar i1, i2 e i3 na Figura 3.25.


In [9]:
print("Problema Prático 3.7")
V1 = 8
C1 = 4

#Supermalha (Malha 1 e Malha 2):
#2(i1 - i3) + 4(i2 - i3) + 8i2 = 8
    #2i1 + 12i2 - 6i3 = 8
    #i1 + 6i2 - 3i3 = 4
    #i1 - i2 = 4 => i2 = i1 - 4
    #i1 + 6(i1 - 4) - 3i3 = 4
        #7i1 - 3i3 = 28


#2i3 + 4(i3 - i2) + 2(i3 - i1) = 0
    #-2i1 - 4i2 + 8i3 = 0
    #-i1 - 2i2 + 4i3 = 0
        #-i1 - 2(i1 - 4) + 4i3 = 0
        #-3i1 + 4i3 = -8

coef = np.matrix("7 -3;-3 4")
res = np.matrix("28;-8")
I = np.linalg.inv(coef)*res
i2 = I[0] - 4
print("Corrente i1:",I[0],"A")
print("Corrente i2:",i2,"A")
print("Corrente i3:",I[1],"A")


Problema Prático 3.7
Corrente i1: [[ 4.63157895]] A
Corrente i2: [[ 0.63157895]] A
Corrente i3: [[ 1.47368421]] A