Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.
Consideremos o circuito RLC em paralelo, mostrado na Figura 8.22.
Aplicando a LKC ao nó superior para t > 0:
\begin{align} {\Large \frac{v}{R} + i + C \frac{dv}{dt}} \end{align}Porém:
\begin{align} {\Large v = L \frac{di}{dt}} \end{align}Assim, substituindo v e reorganizando a equação, temos:
\begin{align} {\Large \frac{d^2 i}{dt^2} + \frac{1}{RC} \frac{di}{dt} + \frac{i}{LC} = \frac{I_s}{LC}} \end{align}A solução completa para a Equação consiste na resposta transiente it(t) e da resposta de estado estável iss; ou seja:
\begin{align} {\Large i(t) = i_t(t) + i_{ss}(t)} \end{align}A resposta transiente é a resposta natural (regime transitório). A resposta de estado estável é a resposta forçada (regime permanente). Assim:
\begin{align} {\Large i(t) = I_s + A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t} \space \space Superamortecido} \\ \\{\Large i(t) = I_s + (A_1 + A_2t)e^{-\alpha t} \space \space Amortecimento \space Critico} \\ \\{\Large i(t) = I_s + (A_1 cos(\omega_d t) + A_2 sin(\omega_d t))e^{-\alpha t} \space \space Subamortecido} \end{align}Onde:
\begin{align} {\Large \alpha = \frac{1}{2RC}} \\ \\{\Large \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}} \\ \\{\Large \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}} \\ \\{\Large s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}} \end{align}De forma alternativa, a resposta completa para qualquer variável x(t) pode ser encontrada diretamente:
\begin{align} \\{\Large x(t) = x_{ss}(t) + x_t(t)} \end{align}Exemplo 8.23
No circuito da Figura 8.23, determine i(t) e iR(t) para t > 0.
In [15]:
print("Exemplo 8.8")
from sympy import *
m = 10**(-3)
C = 8*m
L = 20
Is = 4
Vs = 30
t = symbols('t')
A1 = symbols('A1')
A2 = symbols('A2')
def sqrt(x,root=2): #definicao de funcao para calculo de raiz quadrada
y = x**(1/root)
return y
#Para t < 0
i0 = Is
v0 = Vs*20/(20 + 20)
print("i(0):",i0,"A")
print("v(0):",v0,"V")
#Para t > 0
R = 20*20/(20 + 20) #Req paralelo
def rlc_paralelo(R,L,C):
alpha = 1/(2*R*C)
omega0 = 1/sqrt(L*C)
print("Alpha:",alpha,"Np/s")
print("Omega0:",omega0,"rad/s")
s1 = -alpha + sqrt(alpha**2 - omega0**2)
s2 = -alpha - sqrt(alpha**2 - omega0**2)
omegad = sqrt(omega0**2 - alpha**2)
if alpha > omega0:
resposta = "Superamortecido"
i = Is + A1*exp(s1*t) + A2*exp(s2*t)
elif alpha == omega0:
resposta = "Amortecimento Crítico"
i = Is + (A1 + A2*t)*exp(-alpha*t)
else:
resposta = "Subamortecido"
i = Is + (A1*cos(omegad*t) + A2*sin(omegad*t))*exp(-alpha*t)
print("Tipo de resposta:",resposta)
print("i(t):",i,"A")
print("i(0):",i.subs(t,0),"A")
print("di(0)/dt:",diff(i,t).subs(t,0))
return alpha, omega0, omegad, resposta, s1, s2, i
alpha, omega0, omegad, resposta, s1, s2, i = rlc_paralelo(R,L,C)
#i0 = A1 + A2 + 4 = 4
#A1 = -A2
print("di(0)/dt:",v0/L,"A/s")
#di(0)/dt = -0.52A1 - 11.98A2 =
#0.52A2 - 11.98A2 = 0.75
A_2 = 0.75/(0.52 - 11.98)
A_1 = -A_2
print("Constante A1:",A_1)
print("Constante A2:",A_2)
i = i.subs(A1,A_1).subs(A2,A_2)
print("i(t)",i,"A")
vl = L*diff(i,t)
ir = vl/20
print("ir(t):",ir,"A")
Problema Prático 8.8
Determine i(t) e v(t) para t > 0 no circuito da Figura 8.24.
In [23]:
print("Problema Prático 8.8")
C = 0.2
L = 20
Is = 10
#Para t < 0
i0 = 0
v0 = oo
print("i(0):",i0,"A")
print("v(0):",v0,"V")
#Para t = inf
i_f = Is
v_f = 0
#Para t > 0
R = oo
alpha, omega0, omegad, resposta, s1, s2, i = rlc_paralelo(R,L,C)
#i0 = A1 + 10 = 0
A_1 = -10
#di(0)/dt = vl(0)/L
print("di(0)/t:",0/L,"A/s")
A_2 = 0
i = i.subs(A1,A_1).subs(A2,A_2)
print("i(t):",i,"A")
vl = L*diff(i,t)
print("v(t):",vl,"V")