Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.
Considere a conexão em série de um resistor e um indutor, conforme mostra a Figura 7.11. Em t = 0, supomos que o indutor tenha uma corrente inicial Io.
\begin{align} I(0) = I_0 \end{align}Assim, a energia correspondente armazenada no indutor como segue:
\begin{align} w(0) = \frac{1}{2} LI_0² \end{align}Exponenciando em e, obtemos:
\begin{align} i(t) = I_0 e^{-t \frac{R}{L}} \end{align}Isso demonstra que a resposta natural de um circuito RL é uma queda exponencial da corrente inicial. A resposta em corrente é mostrada na Figura 7.12. Fica evidente, da Equação, que a constante de tempo para o circuito RL é:
\begin{align} τ = \frac{L}{R} \end{align}A tensão no resistor como segue:
\begin{align} v_R(t) = I_0 R e^{-t/τ} \end{align}A potência dissipada no resistor é:
\begin{align} p = v_R i = I_0^2 R e^{-2t/τ} \end{align}A energia absorvida pelo resistor é:
\begin{align} w_R(t) = \int_{0}^{t} p(t)dt = \frac{1}{2} L I_0^2 (1 - e^{-2t/τ}) \end{align}Enquanto t → ∞, wr(∞) → 1/2 L I0², que é o mesmo que wl(0), a energia armazenada inicialmente no indutor
Assim, os procedimentos são:
Exemplo 7.3
Supondo que i(0) = 10 A, calcule i(t) e ix(t) no circuito da Figura 7.13.
In [11]:
print("Exemplo 7.3")
import numpy as np
from sympy import *
I0 = 10
L = 0.5
R1 = 2
R2 = 4
t = symbols('t')
#Determinar Req = Rth
#Io hipotético = 1 A
#Analise de Malhas
#4i2 + 2(i2 - i0) = -3i0
#6i2 = 5
#i2 = 5/6
#ix' = i2 - i1 = 5/6 - 1 = -1/6
#Vr1 = ix' * R1 = -1/6 * 2 = -1/3
#Rth = Vr1/i0 = (-1/3)/(-1) = 1/3
Rth = 1/3
tau = L/Rth
i = I0*exp(-t/tau)
print("Corrente i(t):",i,"A")
vl = L*diff(i,t)
ix = vl/R1
print("Corrente ix(t):",ix,"A")
Problema Prático 7.3
Determine i e vx no circuito da Figura 7.15. Façamos i(0) = 12 A.
In [15]:
print("Problema Prático 7.3")
L = 2
I0 = 12
R1 = 1
#Determinar Req = Rth
#i0 hipotetico = 1 A
#vx = 4 V
#vx + 2(i0 - i1) + 2vx - v0 = 0
#-2i1 - v0 = -14
#-2vx + 2(i1 - i0) + 6i1 = 0
#8i1 = 10
#i1 = 10/8 = 5/4
#v0 = vx + 2(i0 - i1) + 2vx
#v0 = 4 + 2 - 5/2 + 8 = 11.5
#Rth = v0/i0 = 11.5/1 = 11.5
Rth = 11.5
tau = L/Rth
i = I0*exp(-t/tau)
print("Corrente i(t):",i,"A")
vx = -R1*i
print("Tensão vx(t):",vx,"V")
Exemplo 7.4
A chave do circuito da Figura 7.16 foi fechada por um longo período. Em t = 0, a chave é aberta. Calcule i(t) para t > 0.
In [18]:
print("Exemplo 7.4")
Vs = 40
L = 2
def Req(x,y): #funcao para calculo de resistencia equivalente em paralelo
res = (x*y)/(x + y)
return res
Req1 = Req(4,12)
V1 = Vs*Req1/(Req1 + 2)
I0 = V1/4
Req2 = 12 + 4
Rth = Req(Req2, 16)
tau = L/Rth
i = I0*exp(-t/tau)
print("Corrente i(t):",i,"A")
Problema Prático 7.4
Para o circuito da Figura 7.18, determine i(t) para t > 0.
In [19]:
print("Problema Prático 7.4")
L = 2
Cs = 15
R1 = 24
Req1 = Req(12,8)
i1 = Cs*R1/(R1 + Req1)
I0 = i1*8/(8 + 12)
Rth = Req(12+8,5)
tau = L/Rth
i = I0*exp(-t/tau)
print("Corrente i(t):",i,"A")
Exemplo 7.5
No circuito indicado na Figura 7.19, encontre io, vo e i durante todo o tempo, supondo que a chave fora aberta por um longo período.
In [27]:
print("Exemplo 7.5")
Vs = 10
L = 2
print("Para t < 0, i0:",0,"A")
I0 = Vs/(2 + 3)
v0 = 3*I0
print("Para t < 0, i:",I0,"A")
print("Para t < 0, v0:",v0,"V")
Rth = Req(3,6)
tau = L/Rth
i = I0*exp(-t/tau)
v0 = -L*diff(i,t)
i0 = -i*3/(3 + 6)
print("Para t > 0, i0:",i0,"A")
print("Para t > 0, v0:",v0,"V")
print("Para t > 0 i:",i,"A")
Problema Prático 7.5
Determine i, io e vo para todo t no circuito mostrado na Figura 7.22.
In [29]:
print("Problema Prático 7.5")
Cs = 24
L = 1
#Para t < 0
i = Cs*4/(4 + 2)
i0 = Cs*2/(2 + 4)
v0 = 2*i
print("Para t < 0, i =",i,"A")
print("Para t < 0, i0 =",i0,"A")
print("Para t < 0, v0 =",v0,"V")
#Para t > 0
R = Req(4 + 2,3)
tau = L/R
I0 = i
i = I0*exp(-t/tau)
i0 = -i*3/(3 + 4 + 2)
v0 = -i0*2
print("Para t < 0, i =",i,"A")
print("Para t < 0, i0 =",i0,"A")
print("Para t < 0, v0 =",v0,"V")