EEL 7045 - Circuitos Elétricos A Bem-vindo

Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.


In [46]:
print("Seja Bem-Vindo ao Curso de Circuitos Elétricos A")
print("Para rodar os códigos você precisa dos módulos Numpy e Sympy")


Seja Bem-Vindo ao Curso de Circuitos Elétricos A
Para rodar os códigos você precisa dos módulos Numpy e Sympy

Introdução

Circuito elétrico é uma interconexão de elementos elétricos

Exemplo de circuito elétrico de um trasmissor de rádio

O Sistema Internacional de Unidades (SI), adotado pela Conferência Geral de Pesos e Medidas em 1960, é conhecido como uma linguagem de medição internacional. Nesse sistema, existem seis unidades principais a partir das quais todas as demais grandezas físicas podem ser derivadas.

Por exemplo, a seguir temos expressões da mesma distância em metros (m):

600.000.000mm 600.000m 600 km

Tabela de multiplicadores de unidades e respectivos símbolos:

Tabela de unidades principais do SI e respectivos símbolos:

Carga e Corrente

Carga é uma propriedade elétrica das partículas atômicas que compõem a matéria, medida em coulombs (C)

Sabemos que a carga e em um elétron é negativa e igual em magnitude a 1,602 * 10^–19 C, enquanto um próton transporta uma carga positiva de mesma magnitude do elétron. A presença de números iguais de prótons e elétrons deixa um átomo com carga neutra.

Em 1 C de carga, existem 1/ (1,602 10^–19) = 6,24 10^18 elétrons

Corrente elétrica é o fluxo de carga por unidade de tempo, medido em ampères (A)

\begin{align} i = dq/dt \end{align}

A carga transferida entre o instante t0 e o instante t é obtida integrando ambos os lados da Equação

\begin{align} Q = \int_{t0}^{t} i dt \end{align}

Se a corrente não muda com o tempo e permanece constante, podemos chamá-la de corrente contínua (CC). Corrente contínua (CC) é uma corrente que permanece constante ao longo do tempo Por convenção, o símbolo I é usado para representar uma corrente contínua desse tipo.

Uma corrente que varia com o tempo é conhecida pelo símbolo i. E uma forma comum de corrente é a corrente senoidal ou corrente alternada (CA). Corrente alternada (CA) é uma corrente que varia com o tempo segundo uma forma de onda senoidal

Gráficos CC (a) e CA (b)

Exemplo 1.1

Qual é a quantidade de carga representada por 4.600 elétrons?


In [5]:
print("Exemplo 1.1")
carga_eletron = -1.6*10**(-19) #unidade em Coulombs
numero_eletrons = 4600
carga_total1 = carga_eletron * numero_eletrons
print("Resposta, em Coulombs, é:", carga_total1)


Exemplo 1.1
Resposta, em Coulombs, é: -7.36e-16

Problema Prático 1.1

Calcule a quantidade de carga representada por seis milhões de prótons.


In [6]:
print("Problema Prático 1.1")
carga_proton = -carga_eletron
numero_protons = 6000000
carga_total2 = carga_proton * numero_protons
print("Resposta, em Coulombs, é:", carga_total2)


Problema Prático 1.1
Resposta, em Coulombs, é: 9.600000000000002e-13

Exemplo 1.2

A carga total entrando em um terminal é dada por q = 5t sen(4 pi t) mC. Calcule a corrente no instante t = 0,5 s


In [45]:
print("Exemplo 1.2")

import numpy as np #importa biblioteca numpy
from sympy import * #importa biblioteca sympy
#i = dq/dt

t = symbols('t') #define x como elemento simbolo
q = 5*t*sin(4*np.pi*t) #carga - funcao
i = diff(q, t) #calcula funcao corrente = derivada de q em respeito a t
print("Função corrente, em miliampères, é:", i)
print("Corrente no instante 0.5, em mA, é", i.subs(t,0.5))


Exemplo 1.2
Função corrente, em miliampères, é: 62.8318530717959*t*cos(12.5663706143592*t) + 5*sin(12.5663706143592*t)
Corrente no instante 0.5, em mA, é 31.4159265358979

Problema Prático 1.2

Se no Exemplo 1.2, q = (10 – 10e–2t) mC, determine a corrente em t = 1,0 s.


In [48]:
print("Problema Prático 1.2")

q = 10 - 10*exp(-2*t)
i = diff(q,t)
print("Função corrente, em miliampères, é:", i)
print("Corrente no instante 1.0, em mA, é", i.subs(t,1.0)) #i.subs(t,1.0) substitui o valor t para 1.0


Problema Prático 1.2
Função corrente, em miliampères, é: 20*exp(-2*t)
Corrente no instante 1.0, em mA, é 2.70670566473225

Exemplo 1.3

Determine a carga total que entra em um terminal entre os instantes t = 1 s e t = 2 s se a corrente que passa pelo terminal é i = (3t^2 – t) A.


In [50]:
print("Exemplo 1.3")

#Q = Sidt de t0 até t, onde S = operando de integral

t = symbols('t') #define t como simbolo para operacoes em python
i = 3*t**2 - t # em ampères
Q = integrate(i, t)
Q2 = integrate(i,(t,1,2))
print("Funcao integral indefinida de Q é:", Q)
print("Resultado de t=1s até t=2s é, em Coulombs:", Q2)


Exemplo 1.3
Funcao integral indefinida de Q é: t**3 - t**2/2
Resultado de t=1s até t=2s é, em Coulombs: 11/2

Problema Prático 1.3

A corrente que flui através de um elemento é:

i = 4A, se 0 < t < 1

i = 4t^2 A, se >1

Calcule a carga que entra no elemento de t = 0 a t = 2 s.


In [115]:
print("Problema Prático 1.3")
    
t = symbols('t')
i1 = 4 #de t=0 até t=1
i2 = 4*t**2 #de t=1 até t=2
Q = integrate(i2,(t,1,2)) #integracao
print("Resultado é:", 4+Q , "C")


Problema Prático 1.3
Resultado é: 40/3 C

Tensão

Força Eletromotriz (FEM) também é conhecida como tensão ou diferença de potencial. A tensão Vab entre dois pontos a e b em um circuito elétrico é a energia (ou trabalho) necessária para deslocar uma carga unitária de a para b; matematicamente:

\begin{align} Vab = dw/dq \end{align}

As unidades são:

1 volt = 1 joule/coulomb = 1 newton-metro/coulomb

Assim: Tensão (ou diferença de potencial) é a energia necessária para deslocar uma carga unitária através de um elemento, medida em volts (V)

\begin{align} Vab = -Vba \end{align}

Conforme a figura:

Assim como a corrente elétrica, uma tensão constante é denominada tensão CC e é representada por V, enquanto uma tensão que varia com o tempo com uma forma senoidal é chamada tensão CA e é representada por v. Uma tensão CC é comumente produzida por uma bateria; uma tensão CA é produzida por um gerador elétrico

Tenha em mente que corrente elétrica passa sempre através de um elemento, já a tensão elétrica é sempre sobre os terminais do elemento ou entre dois pontos

Potência e Energia

Potência é a velocidade com que se consome ou se absorve energia medida em watts (W)

Escrevemos essa relação como:

\begin{align} p = dw/dt = dw/dq * dq/dt = v * i \end{align}

A potência p na Equação acima é uma quantidade variável com o tempo e é denominada potência instantânea. Portanto, a potência absorvida ou fornecida por um elemento é o produto da tensão no elemento pela corrente através dele. Se a potência tem um sinal +, ela está sendo fornecida para o elemento ou absorvida por ele. Em contrapartida, se a potência tiver um sinal –, a potência está sendo fornecida pelo elemento

A convenção de sinal passivo é realizada quando a corrente entra pelo terminal positivo de um elemento e p = +vi. Se a corrente entra pelo terminal negativo, p = –vi.

\begin{align} +Pabsorvida = -Pfornecida \end{align}\begin{align} ou \end{align}\begin{align} \sum{p} = 0 \end{align}

Assim:

\begin{align} w = \int_{t0}^{t} p dt = \int_{t0}^{t} vi dt \end{align}

Energia é a capacidade de realizar trabalho e é medida em joules (J). As concessionárias de energia elétrica medem a energia em watts-hora (Wh), em que:

\begin{align} 1 Wh = 3600 J \end{align}

Exemplo 1.4

Uma fonte de energia com uma corrente constante de 2 A força a passagem dessa corrente através de uma lâmpada por 10 s. Se forem liberados 2,3 kJ na forma de energia luminosa e calorífica, calcule a queda de tensão na lâmpada


In [117]:
print("Exemplo 1.4")

i = 2 #corrente em A
t = 10 #tempo em s
w = 2300 # energia em kJ
q_total = i*t #carga total
#v = dw/dq
v = w/q_total
print("Resultado é:", v, "V")


Exemplo 1.4
Resultado é: 115.0 V

Problema Prático 1.4

Mover uma carga q do ponto a ao ponto b requer –30 J. Determine a queda de tensão Vab se: (a) q = 6 C, (b) q = –3 C.


In [118]:
print("Problema Prático 1.4")

#v = dw/dq
w = -30 #energia em J
q1 = 6 #carga em C
v1 = w/q1 #tensao em V
print("Resposta (a):", v1, "V")
q2 = -3
v2 = w/q2
print("Resposta (b):", v2, "V")


Problema Prático 1.4
Resposta (a): -5.0 V
Resposta (b): 10.0 V

Exemplo 1.5

Determine a potência fornecida para um elemento no instante t = 3 ms se a corrente que entra pelo terminal positivo for:

i = 5 cos(60 pi t) A

e a tensão for: (a) v = 3i, (b) v = 3di/dt.


In [123]:
print("Exemplo 1.5")

import numpy as np
from sympy import *

t = symbols('t')
i = 5*cos(60*np.pi*t)
v1 = 3*i
p1 = i.subs(t,0.003)*v1.subs(t,0.003)
print("Resposta (a):", p1, "W")
v2 = 3*diff(i,t)
p2 = i.subs(t,0.003)*v2.subs(t,0.003)
print("Resposta (b):", p2, "W")


Exemplo 1.5
Resposta (a): 53.4667234336902 W
Resposta (b): -6395.84554679225 W

Exemplo 1.6

Quanta energia uma lâmpada de 100 W consome em duas horas?


In [124]:
print("Exemplo 1.6")

p = 100
h = 2
w = p*h #energia em Wh
w = w*3600 #conversao para J
print("Energia consumida:", w, "J")


Exemplo 1.6
Energia consumida: 720000 J

Problema Prático 1.6

Um forno elétrico consome 15 A quando conectado a uma linha de 120 V. Quanto tempo leva para consumir 180 kJ?


In [1]:
i = 15
v = 120
q = 180000
p = v*i
print("Potencia:", p, "W")
#p = dq/dt
t = q/p
print("Tempo necessario:", t, "s")


Potencia: 1800 W
Tempo necessario: 100.0 s

Elementos de Circuito

Existem dois tipos de elementos encontrados nos circuitos elétricos: elementos passivos e elementos ativos. Um elemento ativo é capaz de gerar energia enquanto um elemento passivo não é. Exemplos de elementos passivos são resistores, capacitores e indutores; os elementos ativos típicos são geradores, baterias e amplificadores operacionais.

Uma fonte independente ideal é um elemento ativo que fornece uma tensão especificada ou corrente que é completamente independente de outros elementos do circuito.

Uma fonte dependente (ou controlada) ideal é um elemento ativo no qual a quantidade de energia é controlada por outra tensão ou corrente.

Há quatro tipos possíveis de fontes dependentes:

  1. Fonte de Tensão Controlada por Tensão (FTCT) - Voltage-Controlled Voltage Source (VCVS)
  2. Fonte de Tensão Controlada por Corrente (FTCC) - Current-Controlled Voltage Source (CCVS)
  3. Fonte de Corrente Controlada por Tensão (FCCT) - Voltage-Controlled Current Source (VCCS)
  4. Fonte de Corrente Controlada por Corrente (FCCC) - Current-Controlled Current Source (CCCS)

As Figuras a seguir apresentam fontes dependentes:

Deve-se observar que uma fonte de tensão ideal (dependente ou independente) produzirá qualquer corrente necessária para garantir que a tensão entre seus terminais seja conforme expressa, enquanto uma fonte de corrente ideal produzirá a tensão necessária para garantir o fluxo de corrente expresso. Portanto, uma fonte ideal poderia, teoricamente, fornecer uma quantidade de energia infinita.

Exemplo 1.7

Calcule a potência fornecida ou absorvida em cada elemento na Figura 1.15.


In [5]:
print("Exemplo 1.7")
Ip2 = 5 #corrente que passa pelo elemento p2
Ip3 = 6 #corrente que passa pelo elemento p3
Icccs = 0.2*Ip2 #corrente da fonte dependente de corrente controlada por corrente (p4)
v1 = 20 #tensao no elemento p1
p1 = -v1*Ip2 #potencia no elemento p1, corrente a mesma que no elemento p2
v2 = 12 #tensao no elemento p2
p2 = v2*Ip2 #potencia no elemento p2,
v3 = 8 #tensao no elemento p3
p3 = v3*Ip3 #potencia no elemento p3
p4 = -v3*Icccs #potencia no elemento p4, tensao mesma que elemento p3
print("Potencia no elemento p1:", p1, "W")
print("Potencia no elemento p2:", p2, "W")
print("Potencia no elemento p3:", p3, "W")
print("Potencia no elemento p4:", p4, "W")


Exemplo 1.7
Potencia no elemento p1: -100 W
Potencia no elemento p2: 60 W
Potencia no elemento p3: 48 W
Potencia no elemento p4: -8.0 W

Problema Prático 1.7

Calcule a potência absorvida ou fornecida por componente do circuito na Figura 1.16.


In [9]:
print("Problema Prático 1.7")
v1 = 5 #tensao no elemento p1
i1 = 9 #corrente que passa no elemento p1
p1 = -v1*i1 #potencia em p1
v2 = 2
p2 = v2*i1
v4 = 3
i4 = 5
p4 = v4*i4
i3 = 4
v3 = 0.6*i4
p3 = v3*i3
print("Potencia no elemento p1:", p1, "W")
print("Potencia no elemento p2:", p2, "W")
print("Potencia no elemento p3:", p3, "W")
print("Potencia no elemento p4:", p4, "W")


Problema Prático 1.7
Potencia no elemento p1: -45 W
Potencia no elemento p2: 18 W
Potencia no elemento p3: 12.0 W
Potencia no elemento p4: 15 W

Resumo

  1. Um circuito elétrico consiste em elementos elétricos conectados entre si.

  2. O Sistema Internacional de Unidades (SI) é a linguagem de medida internacional que permite aos engenheiros informarem seus resultados. A partir de seis unidades principais podem ser derivadas as unidades de outras grandezas físicas.

  3. Corrente é o fluxo de carga por unidade de tempo \begin{align} i = dq/dt \end{align}

  4. Tensão é a energia necessária para deslocar 1 C de carga através de um elemento. \begin{align} v = dw/dq \end{align}

  5. Potência é a energia fornecida ou absorvida por unidade de tempo. Ela também é o produto da tensão pela corrente. \begin{align} p = dw/dt = v * i \end{align}

  6. De acordo com a convenção de sinal passivo, adota-se um sinal positivo para a potência quando a corrente entra pelo terminal de polaridade positiva da tensão em um elemento.

  7. Uma fonte de tensão ideal produz uma diferença de potencial específica entre seus terminais independentemente do que estiver conectado a ela. Uma fonte de corrente ideal produz uma corrente específica através de seus terminais, não interessando o que está conectado a ela.

  8. As fontes de corrente e tensão podem ser dependentes ou independentes. Uma fonte dependente é aquela cujo valor depende de algum outro circuito variável.

  9. Duas áreas de aplicação dos conceitos vistos neste capítulo são o tubo de imagem de TV e o procedimento de cobrança pelo fornecimento de energia elétrica.