En esta parte final vamos a entender el papel que juegan algunas de las suposiciones básicas del modelo de Hägerstrand, en particular, la suposición de homogeneidad espacial.
Como vimos en los ejercicios anteriores, el modelo original asume que el espacio es homogéneo, esto es, todas las celdas son exáctamente iguales. ¿Que pasaría si esto no fuera así? Para entenderlo, vamos a trabajar con una versión del modelo de difusión que no supone un espacio homogeneo, en esta nueva versión, las celdas tienen un número diferente de habitantes.
Para implementar espacios con diferente número de habitantes en cada celda, PyHagerstrand implementa el modelo AdvancedDiffusion, que genera distribuciones de habitantes basadas en distribuciones gaussianas a partir de núcleos de población, es decir, trata de simular la presencia de pueblos en el espacio.
Los parámetros para la clase AdvancedDiffusion son muy parecidos a los de SimpleDiffusion, pero agrega un par de nuevos parámetros para controlar el escenario de población (recuerden que siempre pueden invocar la ayuda usando help(AdvancedDiffusion)):
Para entender cómo son los escenarios de población que genera el modelo, vamos a jugar un poco con los parámetros involucrados. Primero vamos a ver cómo funciona el parámetroamplitud, para esto, vamos a crear dos modelos de difusión con valores diferentes de amplitud:
In [4]:
%pylab inline
from haggerstrand.diffusion import AdvancedDiffusion
ad_1 = AdvancedDiffusion(100,5,25,[(50,50)],0.3,25,20,2.0)
ad_2 = AdvancedDiffusion(100,5,25,[(50,50)],0.3,25,20,4.0)
subplot(1,2,1)
plt.imshow(ad_1.space)
subplot(1,2,2)
plt.imshow(ad_2.space)
Out[4]:
Como pueden ver, los resultados cuando usamos un valor de 2.0 son más dispersos que cuando usamos un valor de 4.0.
Veamos ahora que pasa con el parámetro densidad:
In [6]:
ad_1 = AdvancedDiffusion(100,5,25,[(50,50)],0.3,25,10,4.0)
ad_2 = AdvancedDiffusion(100,5,25,[(50,50)],0.3,25,20,4.0)
subplot(1,2,1)
plt.imshow(ad_1.space)
subplot(1,2,2)
plt.imshow(ad_2.space)
Out[6]:
La idea de densidad es controlar la cantidad de núcleos de dispersión de población. Entoces, diferentes combinaciones de densidad y amplitud, nos van a generar diferentes escenarios iniciales de población que tratan de reflejar posibles condiciones en el espacio.
Jueguen un poco con estos parámetros hasta encontrar una combinación que los satisfaga.
In [8]:
ad = AdvancedDiffusion(100,5,25,[(50,50)],0.3,25,25,2.8)
plt.imshow(ad.space)
Out[8]:
Ahora sí, podemos correr simulaciones para ver cómo se comporta el modelo una vez que relajamos la suposición de homogeneidad espacial, empezemos haciendo un poco de difusión espacial:
In [9]:
ad.spatial_diffusion()
plt.imshow(ad.result[:,:,24])
Out[9]:
Como pueden ver, el resultado es bastante similar al caso homogeneo, sólo que ahora tenemos unas manchas rojas que reflejan la distribución inicial de población.
Por supuesto que también podemos ver una animación:
In [11]:
from JSAnimation import IPython_display
import matplotlib.animation as animation
ims = []
fig = plt.figure()
for i in range(0,ad.max_iter):
im = imshow(ad.result[:,:,i])
ims.append([im])
animation.ArtistAnimation(fig, ims, interval=100, blit=True)
Out[11]:
Ahora surge una pregunta interesante, ¿cómo se comportará la I de Moran sin la suposición de homogeneidad?
In [12]:
import pysal as ps
w = ps.lat2W(ad.N,ad.N,rook=False)
mr = ps.Moran(ad.result[:,:,24].flatten(),w)
print "La I de Moran es %f" % mr.I
print "El valor esperado, bajo suposición de normalidad es %f" % mr.EI
print "El valor de significancia es %f" % mr.p_rand
Y ¿comparado con un modelo equivalente pero homogeneo?
In [17]:
from haggerstrand.diffusion import SimpleDiffusion
sd = SimpleDiffusion(100,100,5,20,[(50,50)],0.3,25)
sd.spatial_diffusion()
md = ps.Moran(sd.result[:,:,24].flatten(),w)
print "La I de Moran es %f" % md.I
print "El valor esperado, bajo suposición de normalidad es %f" % md.EI
print "El valor de significancia es %f" % md.p_rand
El resultado en ambos casos es una I de Moran muy alta, esto era de esperarse porque los patrones espaciales no son demasiado diferentes. Pero ¿Qué pasa con la difusión aleatoria sobre un campo no-homogeneo? Primero veamos el resultado:
In [21]:
ad.random_diffusion()
plt.imshow(ad.result[:,:,24])
Out[21]:
Como pueden var, el resultado refleja la distribución original de la población. En términos del índice de Moran, ¿cómo se ve?
In [22]:
mr = ps.Moran(ad.result[:,:,24].flatten(),w)
print "La I de Moran es %f" % mr.I
print "El valor esperado, bajo suposición de normalidad es %f" % mr.EI
print "El valor de significancia es %f" % mr.p_rand
¿Y si lo comparamos con la difusión aleatoria en espacios homogéneos?
In [23]:
sd.random_diffusion()
sr = ps.Moran(sd.result[:,:,24].flatten(),w)
print "La I de Moran es %f" % sr.I
print "El valor esperado, bajo suposición de normalidad es %f" % sr.EI
print "El valor de significancia es %f" % sr.p_rand
Como pueden ver, en el caso de la difusión sobre espacios no-homogéneos, la autocorrelación espacial depende más de la distribución original de la población que de el proceso de difusión!